Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 3. ЯДЕРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯЯдерные отображения впервые появились под наименованием "операторов со следом", когда Шаттен и фон-Нейман [1] исследовали вопрос о том, каким непрерывным линейным отображениям гильбертова пространства в себя можно разумным образом приписать след. Перенесение этих рассмотрений на банаховы пространства и привело Гротендика [1], [3] к общему понятию ядерного отображения. Но при этом первоначальная постановка вопроса отошла на задний план. А именно, до сих пор неизвестно, действительно ли каждое ядерное отображение банахова пространства в себя обладает однозначно определенным следом. В этой главе рассматриваются ядерные отображения нормированного пространства Уже Гротендик [3, гл. I, стр. 88] заметил, что ядерные отображения обладают одним весьма скверным свойством. А именно, если Основным результатом этой главы является восходящая к Гротендику [3, гл. I, стр. 162] теорема 3.3.5, доказываемая здесь новым и весьма простым способом. Она устанавливает тот глубокий факт, что произведение любых двух абсолютно суммирующих отображений ядерно. В заключение в качестве первого применения полученных результатов доказывается теорема Дворецкого — Роджерса. 3.1. Ядерные отображения нормированных пространств3.1.1. Пусть
и
Для каждого ядерного отображения
где нижняя грань берется по всевозможным таким его представлениям. 3.1.2. Будем обозначать через Предложение. Доказательство. Пусть
поскольку
справедливо неравенство
Следовательно,
Пусть далее
такие, что
и
Поэтому отображение
где
Следовательно,
Кроме того, как легко видеть, для каждого
Тем самым наше утверждение полностью доказано. 3.1.3. Лемма. Если Доказательство. Существует такая монотонно возрастающая последовательность индексов
Тогда ядерные отображения
где
Следовательно,
откуда при
Так как при этом
то отображение
то В качестве простого следствия доказанной только что леммы получаем следующее Предложение. Если 3.1.4. Предложение. Доказательство. Так как каждое конечномерное отображение
то
и
Так как для каждого положительного числа 6 существует множество
то для конечномерных отображений
имеем
Следовательно, 3.1.5. Предложение. Каждое ядерное отображение предкомпактно. Доказательство. Пусть
Следовательно, отображение 3.1.6. В качестве непосредственного следствия из 3.1.5 и 0.10.6 получаем Предложение. Каждое ядерное отображение обладает сепарабельным образом. 3.1.7. Пусть Предложение. (1) Если
(2) Если
Доказательство. (1) Так как
и
Тогда отображение
причем
Тем самым
Доказательство второй части предложения проводится аналогично. 3.1.8. Предложение. Отображение Доказательство. Для любого положительного числа
где
Тогда дуальное отображение
причем
Тем самым утверждение доказано. 3.1.9. Проблема. Каждое ли непрерывное линейное отображение Замечание. Гротендик дал положительный ответ на этот вопрос для весьма широкого класса нормированных пространств. 3.1.10. Приведем некоторые примеры ядерных отображений. Напомним для этого, что каждое непрерывное линейное отображение
Предложение. Отображение
причем тогда Доказательство. Если
и
т. е.
Следовательно,
и
откуда
Тем самым Пусть теперь
Положим
Так как
и положим
Тогда для всех
т. е.
и так как, кроме того,
то
|
1 |
Оглавление
|