Глава 3. ЯДЕРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Ядерные отображения впервые появились под наименованием "операторов со следом", когда Шаттен и фон-Нейман [1] исследовали вопрос о том, каким непрерывным линейным отображениям гильбертова пространства в себя можно разумным образом приписать след. Перенесение этих рассмотрений на банаховы пространства и привело Гротендика [1], [3] к общему понятию ядерного отображения. Но при этом первоначальная постановка вопроса отошла на задний план. А именно, до сих пор неизвестно, действительно ли каждое ядерное отображение банахова пространства в себя обладает однозначно определенным следом.

В этой главе рассматриваются ядерные отображения нормированного пространства в нормированное пространство При этом оказывается, что совокупность всех таких отображений образует линейное пространство с надлежащей нормой.

Уже Гротендик [3, гл. I, стр. 88] заметил, что ядерные отображения обладают одним весьма скверным свойством. А именно, если вложено в большее нормированное пространство О, то может случиться, что отображение ядерно, если его рассматривать как отображение пространства но не ядерно как отображение Более тщательное исследование этой ситуации привело меня к понятию квазиядерного отображения (см. предложение 3.2.7).

Основным результатом этой главы является восходящая к Гротендику [3, гл. I, стр. 162] теорема 3.3.5, доказываемая здесь новым и весьма простым способом. Она устанавливает тот глубокий факт, что произведение любых двух абсолютно суммирующих отображений ядерно.

В заключение в качестве первого применения полученных результатов доказывается теорема Дворецкого — Роджерса.

3.1. Ядерные отображения нормированных пространств

3.1.1. Пусть —произвольные нормированные пространства с замкнутыми единичными шарами Отображение называется ядерным, если существуют непрерывные линейные формы и элементы такие, что

и

Для каждого ядерного отображения положим

где нижняя грань берется по всевозможным таким его представлениям.

3.1.2. Будем обозначать через совокупность всех ядерных отображений пространства Справедливо следующее

Предложение. есть линейное пространство с нормой

Доказательство. Пусть Для каждого представления в виде

поскольку

справедливо неравенство

Следовательно,

Пусть далее Тогда для произвольного положительного числа 6 существуют представления

такие, что

и

Поэтому отображение обладает представлением

где

Следовательно, также принадлежит и справедливо неравенство треугольника

Кроме того, как легко видеть, для каждого и каждого числа а также причем

Тем самым наше утверждение полностью доказано.

3.1.3. Лемма. Если система Коши в и существует отображение такое, что для каждого и .

Доказательство. Существует такая монотонно возрастающая последовательность индексов что

Тогда ядерные отображения представимы в виде

где

Следовательно,

откуда при получаем в пределе тождество

Так как при этом

то отображение а тем самым и ядерно. Наконец, так как

то

В качестве простого следствия доказанной только что леммы получаем следующее

Предложение. Если — нормированное, банахово пространства, то банахово пространство.

3.1.4. Предложение. содержится в как плотное линейное подпространство.

Доказательство. Так как каждое конечномерное отображение представимо в виде

то линейное подпространство в Пусть теперь произвольное ядерное отображение пространства Тогда существуют непрерывные линейные формы и элементы такие, что

и

Так как для каждого положительного числа 6 существует множество такое, что

то для конечномерных отображений

имеем

Следовательно, и предложение полностью доказано.

3.1.5. Предложение. Каждое ядерное отображение предкомпактно.

Доказательство. Пусть Отображения Тпостроенные по в 3.1.4, сходятся к также в пространстве поскольку

Следовательно, отображение в силу 0.10.6 предкомпактно.

3.1.6. В качестве непосредственного следствия из 3.1.5 и 0.10.6 получаем

Предложение. Каждое ядерное отображение обладает сепарабельным образом.

3.1.7. Пусть нормированные пространства с замкнутыми единичными шарами

Предложение. (1) Если и причем

(2) Если и причем

Доказательство. (1) Так как ядерно, то для каждого положительного числа существуют непрерывные линейные формы и элементы такие, что

и

Тогда отображение имеет вид

причем

Тем самым ядерно и

Доказательство второй части предложения проводится аналогично.

3.1.8. Предложение. Отображение дуальное к ядерному отображению также ядерно, причем

Доказательство. Для любого положительного числа существует представление отображения в виде

где

Тогда дуальное отображение имеет вид

причем

Тем самым утверждение доказано.

3.1.9. Проблема. Каждое ли непрерывное линейное отображение дуальное к которому ядерно, также должно быть ядерным?

Замечание. Гротендик дал положительный ответ на этот вопрос для весьма широкого класса нормированных пространств.

3.1.10. Приведем некоторые примеры ядерных отображений. Напомним для этого, что каждое непрерывное линейное отображение пространства представимо с помощью однозначно определенной матрицы в виде

Предложение. Отображение ядерно тогда и только тогда, когда

причем тогда

Доказательство. Если ядерно, то для каждого положительного числа существуют семейства такие, что

и

т. е.

Следовательно,

и

откуда

Тем самым для каждого ядерного отображения

Пусть теперь непрерывное линейное отображение пространства в для которого

Положим

Так как то множество не более чем счетно. Определим теперь на непрерывные линейные формы формулами

и положим

Тогда для всех будем иметь

т. е.

и так как, кроме того,

то ядерно и