0.6. Сопряженное к локально выпуклому пространству

0.6.1. Сопряженным к локально выпуклому пространству называют линейное подпространство

алгебраического сопряженного образованное всеми непрерывными линейными формами на

0.6.2. Совокупнесть всевозможных преднорм

порождает на сопряженном к локально выпуклому пространству так называемую слабую топологию. Получающееся так локально выпуклое пространство будет обозначаться

Чтобы указать, что какие-либо термины или утверждения следует понимать в смысле слабой топологии, мы будем сопровождать их словом "слабо“.

0.6.3. Выражение при фиксированном х является непрерывной линейной формой на Поскольку так получаются все непрерывные линейные формы на пространство отождесгвимо с сопряженным к Тем самым и в определяется слабая топология, задаваемая преднормами

Теорема Макки. Каждое слабо ограниченное подмножество локально выпуклого пространства ограниченно.

0.6.4. Поляра

каждого подмножества локально выпуклого пространства есть слабо замкнутое абсолютно выпуклое множество в Образуя поляру для получаем биполяру

множества Она содержит более точно связь между выражает

Теорема о биполяре. Если абсолютно выпуклое подмножество локально выпуклого пространства, то совпадает с замыканием

Если линейное подпространство в то есть линейное подпространство в причем

0.6.5. Теорема Алаоглу — Бурбаки. Поляра каждой окрестности нуля локально выпуклого пространства есть слабо компактное подмножество сопряженного пространства

0.6.6. Множество О линейных форм, определенных на локально выпуклом пространстве называют равностепенно непрерывным, если существует окрестность нуля такая, что

0.6.7. Совокупность преднорм

где К пробегает все предкомпактные подмножества локально выпуклого пространства превращает его сопряженное в локально выпуклое пространство ?. Справедливо следующее

Предложение. На каждом равностепенно непрерывном подмножестве пространства сопряженного к локально выпуклому пространству топологии, индуцируемые из , совпадают.

0.6.8. Системой преднорм

в пространстве сопряженном к локально выпуклому пространству порождается так называемая сильная топология. Получающееся так локально выпуклое пространство будет обозначаться ?.

Так как

то

Отсюда легко следует, что поляры множеств образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для сильной топологии. Достаточно даже, чтобы В пробегали

какую-нибудь фундаментальную систему ограниченных множеств.

Чтобы указать, что какие-либо термины или утверждения следует понимать в смысле сильной топологии, мы будем сопровождать их словом "сильно“.

0.6.9. Сопряженное к будет называться вторым сопряженным к локально выпуклому пространству и обозначаться Так как при фиксированном х есть непрерывная линейная форма на то отождествимо с линейным подпространством пространства

Определенные для элементов преднормы

порождают в так называемую натуральную топологию. Получаемое так локально выпуклое пространство будет обозначаться Топология в индуцированная из совпадает с исходной топологией пространства