8.4. Ядерные и абсолютно суммирующие отображения

8.4.1. Для наших дальнейших рассмотрений понадобятся следующие леммы.

Лемма 1. Для каждого -мерного подпространства нормированного пространства существуют элементы и линейные формы

такие, что и

Доказательство. Пусть произвольная система линейно независимых элементов в Для каждого семейства линейных форм где замкнутый единичный шар пространства положим

непрерывная функция на компактном произведении экземпляров слабо компактного единичного шара пространства Следовательно, должны существовать элементы при которых она принимает наибольшее значение заведомо положительное вследствие линейной независимости элементов Пусть -однозначно определенные решения системы уравнений

Тогда

и так как

то из теоремы умножения определителей следует, что

Следовательно,

Взяв, в частности, при получим, что

А так как в силу предположения также то из соотношения

вытекает, что на самом деле

Наконец, поскольку элементы линейно независимы, есть -мерное пространство, каждый элемент однозначно представляется в виде линейной комбинации

причем

Тем самым наше утверждение доказано.

Пусть 3; и произвольные нормированные пространства с единичными шарами

Лемма 2. Каждое отображение -мерным образом представимо в виде

где а числа удовлетворяют неравенству

Доказательство. Возьмем для элементы и линейные формы обладающие свойствами, указанными в лемме 1. Тогда

и

Положив

получим для представление

в котором

8.4.2. После этой подготовки докажем следующее

Предложение. Каждое отображение где представимо в виде

где а числа удовлетворяют неравенству

Доказательство. Выберем отображения так, чтобы

и положим

Тогда

и

откуда

Но так как последовательность монотонно убывает, то

Следовательно,

Используя лемму 2 из 8.4.1, представим теперь отображение в виде

где Тогда будем иметь

чем нате утверждение и доказано, поскольку

8.4.3. Мы показали в 8.3.3, что в случае гильбертовых пространств ядерные отображения совпадают с отображениями типа В случае же произвольных нормированных пространств могут существовать ядерные отображения, не являющиеся отображениями типа Однако в предложении 8.4.2 в качестве частного случая содержится

Теорема. Каждое отображение где нормированные пространства, ядерно, причем

8.4.4. Проблема. Найти наименьшее положительное число для которого все отображения типа 11 удовлетворяли бы неравенству

8.4.5. В направлении, противоположном теореме 8.4.3, справедлива следующая

Теорема. Пусть произвольные нормированные пространства. Произведение абсолютно суммирующих отображений есть отображение типа причем

Доказательство. Как и в рассматриваемое как отображение пространства обладает разложением

В силу теоремы 8.3.4

и потому

Тем самым наше утверждение доказано, ибо в силу рассматриваемое также как отображение пространства есть отображение типа причем

8.4.6. Методом, использованным при доказательстве теоремы 8.4.5, можно показать, что произведение трех абсолютно суммирующих отображений всегда есть отображение типа