Главная > Ядерные локально выпуклые пространства
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

0.5. Локально выпуклые пространства

0.5.1. Пусть на вещественном или комплексном линейном пространстве задана система центральных множеств, обладающая следующими свойствами:

Для любого конечного набора множеств существует множество содержащееся в

Для каждого множества существует множество такое, что

Для каждого элемента из существует множество такое, что

Тогда множества

образуют фундаментальные системы окрестностей элементов в некоторой хаусдорфовой топологии Линейное пространство наделенное хаусдорфовой топологией, которую можно получить описанным способом, будет называться локально выпуклым пространством.

Для каждого локально выпуклого пространства совокупность всех центральных множеств содержащих хотя бы одно множество однозначно определена. Множества из являются окрестностями нулевого элемента и будут кратко именоваться окрестностями нуля

0.5.2. Преднорма определенная на локально выпуклом пространстве непрерывна тогда и только тогда, когда она представима в виде

где Тем самым топология в однозначно определяется совокупностью всех непрерывных преднорм. В силу этого в линейном пространстве можно также ввести локально выпуклую топологию, задав систему преднорм обладающую следующими свойствами:

Для любого конечного набора преднорм существует преднорма такая, что для всех

Для каждого элемента из существует преднорма такая, что

А именно, тогда множества

образуют фундаментальную систему окрестностей нуля, обладающую свойствами, указанными в 0.5.1.

Оказывается, что преднорма на построенном так локально выпуклом пространстве непрерывна тогда и только тогда, когда существуют преднорма и

положительное число такие, что

0.5.3. Каждое линейное подпространство локально выпуклого пространства наделенное индуцированной из топологией, само есть локально выпуклое пространство. При этом его топология определяется также сужениями на непрерывных преднорм, заданных на равно как окрестностями нуля где пробегает Наделенное этой топологией, называется подпространством локально выпуклого пространства

0.5.4. Если - замкнутое линейное подпространство локально выпуклого пространства то преднормы

задают на факторпространстве линейного пространства локально выпуклую топологию. Соответствующую фундаментальную систему окрестностей нуля образуют множества

Наделенное этой топологией, называется фактор-пространством локально выпуклого пространства

0.5.5. Множество В в локально выпуклом пространстве называют ограниченным, если для каждой окрестности нуля существует положительное число такое, что Мы будем через обозначать совокупность всех замкнутых абсолютно выпуклых ограниченных множеств из Тогда для любого ограниченного множества из существует множество такое, что Всякая подсистема системы обладающая таким свойством, будет называться фундаментальной системой ограниченных множеств на

0.5.6. Множество К в локально выпуклом пространстве называют предкомпактным, если для каждой окрестности нуля существует конечное число

таких элементов что

Каждое предкомпактное множество ограниченно. Мы будем через обозначать совокупность всех замкнутых абсолютно выпуклых предкомпактных множеств из Можно показать, что любое предкомпактное подмножество пространства содержится в некотором множестве из

0.5.7. Направленная система элементов локально выпуклого пространства будет называться системой Коши, если для каждой окрестности нуля существует индекс такой, что

Каждая сходящаяся направленная система есть система Коши. Если верно и обратное, то локально выпуклое пространство называют полним.

Для каждого локально выпуклого пространства существует (с точностью до изоморфизма однозначно определенное) полное локально выпуклое пространство содержащее как плотное подпространство. Это пространство будет называться пополнением пространства

Система Коши называется ограниченной, если множество всех элементов ограниченно. Локально выпуклое пространство в котором сходится каждая ограниченная система Коши, называется ограниченно полным. Каждое локально выпуклое пространство обладает ограниченным пополнением т. е. ограниченно полным локально выпуклым пространством, содержащим как плотное подпространство.

Теорема. Каждое замкнутое предкомпактное подмножество ограниченно полного локально выпуклого пространства компактно.

1
Оглавление
email@scask.ru