0.5. Локально выпуклые пространства

0.5.1. Пусть на вещественном или комплексном линейном пространстве задана система центральных множеств, обладающая следующими свойствами:

Для любого конечного набора множеств существует множество содержащееся в

Для каждого множества существует множество такое, что

Для каждого элемента из существует множество такое, что

Тогда множества

образуют фундаментальные системы окрестностей элементов в некоторой хаусдорфовой топологии Линейное пространство наделенное хаусдорфовой топологией, которую можно получить описанным способом, будет называться локально выпуклым пространством.

Для каждого локально выпуклого пространства совокупность всех центральных множеств содержащих хотя бы одно множество однозначно определена. Множества из являются окрестностями нулевого элемента и будут кратко именоваться окрестностями нуля

0.5.2. Преднорма определенная на локально выпуклом пространстве непрерывна тогда и только тогда, когда она представима в виде

где Тем самым топология в однозначно определяется совокупностью всех непрерывных преднорм. В силу этого в линейном пространстве можно также ввести локально выпуклую топологию, задав систему преднорм обладающую следующими свойствами:

Для любого конечного набора преднорм существует преднорма такая, что для всех

Для каждого элемента из существует преднорма такая, что

А именно, тогда множества

образуют фундаментальную систему окрестностей нуля, обладающую свойствами, указанными в 0.5.1.

Оказывается, что преднорма на построенном так локально выпуклом пространстве непрерывна тогда и только тогда, когда существуют преднорма и

положительное число такие, что

0.5.3. Каждое линейное подпространство локально выпуклого пространства наделенное индуцированной из топологией, само есть локально выпуклое пространство. При этом его топология определяется также сужениями на непрерывных преднорм, заданных на равно как окрестностями нуля где пробегает Наделенное этой топологией, называется подпространством локально выпуклого пространства

0.5.4. Если - замкнутое линейное подпространство локально выпуклого пространства то преднормы

задают на факторпространстве линейного пространства локально выпуклую топологию. Соответствующую фундаментальную систему окрестностей нуля образуют множества

Наделенное этой топологией, называется фактор-пространством локально выпуклого пространства

0.5.5. Множество В в локально выпуклом пространстве называют ограниченным, если для каждой окрестности нуля существует положительное число такое, что Мы будем через обозначать совокупность всех замкнутых абсолютно выпуклых ограниченных множеств из Тогда для любого ограниченного множества из существует множество такое, что Всякая подсистема системы обладающая таким свойством, будет называться фундаментальной системой ограниченных множеств на

0.5.6. Множество К в локально выпуклом пространстве называют предкомпактным, если для каждой окрестности нуля существует конечное число

таких элементов что

Каждое предкомпактное множество ограниченно. Мы будем через обозначать совокупность всех замкнутых абсолютно выпуклых предкомпактных множеств из Можно показать, что любое предкомпактное подмножество пространства содержится в некотором множестве из

0.5.7. Направленная система элементов локально выпуклого пространства будет называться системой Коши, если для каждой окрестности нуля существует индекс такой, что

Каждая сходящаяся направленная система есть система Коши. Если верно и обратное, то локально выпуклое пространство называют полним.

Для каждого локально выпуклого пространства существует (с точностью до изоморфизма однозначно определенное) полное локально выпуклое пространство содержащее как плотное подпространство. Это пространство будет называться пополнением пространства

Система Коши называется ограниченной, если множество всех элементов ограниченно. Локально выпуклое пространство в котором сходится каждая ограниченная система Коши, называется ограниченно полным. Каждое локально выпуклое пространство обладает ограниченным пополнением т. е. ограниченно полным локально выпуклым пространством, содержащим как плотное подпространство.

Теорема. Каждое замкнутое предкомпактное подмножество ограниченно полного локально выпуклого пространства компактно.