4.4. Свойства ядерных локально выпуклых пространств

4.4.1. Установим прежде всего свойство, позволяющее многое в изучении ядерных пространств сводить к рассмотрению гильбертовых пространств. А именно, справедливо следующее

Предложение. В каждом ядерном локально выпуклом пространстве существует фундаментальная система окрестностей нуля такая, что банаховы пространства и для всех гильбертовы.

Доказательство. Обозначим через совокупность всех окрестностей нуля для которых а тем самым и является гильбертовым пространством. Покажем, что каждая окрестность нуля содержит некоторую окрестность нуля Согласно предложению 4.1.5, существуют окрестность нуля и положительная мера Радона на такие, что

Тогда формула

определяет на непрерывную преднорму с оценкой порождаемую скалярным произведением

Тем самым гильбертово пространство. При этом применение неравенства Гёльдера показывает, что

для всех Следовательно, и наше утверждение доказано.

4.4.2. В качестве простого следствия только что доказанной теоремы получается следующая

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда в нем существует фундаментальная система окрестностей нуля обладающая следующими двумя свойствами:

для каждого есть гильбертово пространство.

Для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что отображение Гильберта — Шмидта.

Доказательство. Так как по теореме 2.5.5 в гильбертовых пространствах абсолютно суммирующие отображения совпадают с отображениями Гильберта — Шмидта, то свойство равносильно свойству из 4.1.2. Таким образом, если в локально выпуклом пространстве существует фундаментальная система окрестностей нуля, обладающая свойствами то оно ядерно. Обратно, пусть любое ядерное локально выпуклое пространство. Согласно 4.4.1, тогда существует фундаментальная система окрестностей нуля обладающая свойством а вследствие ядерности эта система обладает также равносильным свойством

4.4.3. Предложение. Для ядерных и дуальноядерных локально выпуклых пространств канонические отображения при любых а ядерны.

Доказательство. Справедливость нашего утверждения вытекает из того, что каждое представимо в виде

соответственно

где V — любая окрестность нуля из для которой любое ограниченное множество из для которого и при этом V, соответственно В, можно выбрать так, чтобы отображение соответственно было ядерным.

4.4.4. Ядерность всех канонических отображений вообще говоря, еще недостаточна для ядерности или дуальной ядерности локально выпуклого пространства Однако справедливо следующее

Предложение. Если для локально выпуклого пространства все канонические отображения абсолютно суммирующие, то

для любого множества индексов

Доказательство. Пусть любое суммируемое семейство в Положим

Так как для каждой окрестности нуля существует множество такое, что для всех не пересекающихся с то для каждого

имеем

так что

Поскольку конечномерное ограниченное множество предкомпактно, существует конечный набор элементов

для которого

Поэтому

и, таким образом, предкомпактное множество в Следовательно, в имеется множество К, содержащее Так как

для всех линейных форм а имеем

Тем самым семейство принадлежит Но так как по предположению канонические отображения пространства в для всех абсолоютно суммирующие, то

Итак, мы показали, что при нашем предположении все суммируемые семейства в оказываются абсолютно суммируемыми и, следовательно,

для каждого множества индексов

4.4.5. Из полученных результатов и предложения 4.2.10 вытекает

Теорема. Локально выпуклое пространство обладающее свойством дуально-ядерно тогда и только тогда, когда все канонические отображения ядерны, соответственно квазиядерны, абсолютно суммирующие.

4.4.6. Кроме того, в силу 4.3.3 справедлива следующая

Теорема. Метрическое или дуально-метрическое локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда все канонические отображения ядерны, соответственно квазиядерны, абсолютно суммирующие.

4.4.7. В качестве простого следствия из 4.4.3 получаем

Предложение. В ядерном или дуально-ядерном локально выпуклом пространстве все ограниченные множества предкомпактны.

Доказательство. Так как любое ограниченное подмножество пространства содержится в замкнутом абсолютно выпуклом ограниченном множестве, то достаточно доказать наше утверждение для множеств Но каноническое отображение пространства в для каждой окрестности нуля ядерно, а потому предкомпактно. Следовательно,

— предкомпактное подмножество пространства Поэтому существует такой конечный набор элементов что

где

— замкнутый единичный шар пространства Но из (1) следует, что

Тем самым наше утверждение доказано, поскольку любая окрестность нуля из

4.4.8. Справедливо следующее дополняющее 4.4.7

Предложение. В дуально-ядерном локально выпуклом пространстве все ограниченные множества сепарабельны.

Доказательство. Каждое ограниченное подмножество пространства содержится в некотором множестве Возьмем теперь множество так, чтобы и каноническое отображение пространства было ядерным. Тогда будет предкомпактным, а значит, и сепарабельным подмножеством нормированного пространства . А так как тождественное отображение пространства в непрерывно, то обладает теми же свойствами и в .

4.4.9. Ограниченные подмножества ядерного локально выпуклого пространства вообще говоря, не сепарабельны. Но зато справедливо

Предложение. Для каждого ядерного локально выпуклого пространства нормированные пространства при всех сепарабельны.

Доказательство. каждой заданной окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что и каноническое отображение пространства на ядерно. Но тогда в силу 3.1.6 пространство как образ ядерного отображения сепарабельно.

4.4.10. Покажем теперь, что сколь угодно больших ядерных метрических или дуально-метрических пространств не существует. А именно, справедлива

Теорема. Все ядерные метрические или дуальнометрические локально выпуклые пространства сепарабельны.

Доказательство. 1) Рассмотрим сначала ядерное метрическое локально выпуклое пространство Выберем в нем какую-нибудь счетную фундаментальную систему окрестностей нуля

Тогда для каждого натурального числа существует последовательность элементов классы вычетов которых образуют плотную последовательность в сепарабельном нормированном пространстве Поэтому, каков бы ни был элемент для каждой окрестности нуля существуют окрестность нуля и элемент такие, что

Но тем самым доказано, что двойная последовательность плотна в

2) Рассмотрим теперь ядерное дуально-метрическое локально выпуклое пространство и выберем в нем счетную фундаментальную систему ограниченных множеств

Так как также дуально-ядерно, то все множества сепарабельны. Поэтому для каждого натурального числа существует последовательность элементов плотная в Поскольку каждый элемент содержится хотя бы в одном множестве двойная последовательность плотна в

4.4.11. Предложение. Каждое ограниченно полное ядерное или дуально-ядерное локально выпуклое пространство полурефлексивно.

Доказательство. Так как, согласно 4.4.7, все ограниченные множества в ядерном или дуально-ядерном локально выпуклом пространстве предкомпактны, то все замкнутые ограниченные множества в в силу предложения 0.5.7 должны быть компактны и, значит, тем более слабо компактны. А тогда справедливость нашего утверждения следует из 0.7.2.

4.4.12. Для доказательства нижеследующей теоремы нам понадобится

Лемма. Каждое ядерное дуально-метрическое локально выпуклое пространство квазибочечно.

Доказательство. Поскольку метрическое локально выпуклое пространство дуально-ядерно, его ограниченные подмножества в силу 4.4.8 сепарабельны. Поэтому каждое сильно ограниченное подмножество В сопряженного пространства содержится в замыкании некоторой последовательности линейных форм Но так как как дуально-метрическое локально выпуклое пространство -квазибочечно, то существует окрестность нуля такая, что все Следовательно, и все множество В содержится в и наше утверждение доказано.

В силу определения 0.7.3 отсюда и из 4.4.11 получается

Теорема. Все ядерные и -пространства рефлексивны.

4.4.13. Сопоставление теорем 4.3.3 и 4.4.12 приводит к следующему замечательному результату.

Теорема. Соотнесение

устанавливает взаимно однозначное соответствие между ядерными -пространствами и ядерными -пространствами.

4.4.14. Рассмотрев ядерные метрические и дуальнометрические локально выпуклые пространства, охарактеризуем в заключение ядерные нормированные пространства.

Теорема. Нормированное пространство ядерно тогда и только тогда, когда оно конечномерно.

Доказательство. Замкнутый единичный шар каждого нормированного пространства ограничен. Если теперь ядерно, то в силу должен быть даже предкомпактным. А тогда согласно 0.8.3, конечномерно. Обратно, если — конечномерное локально выпуклое пространство, то каноническое отображение пространства на для каждой окрестности нуля конечномерно и тем самым ядерно. Следовательно, фундаментальная система окрестностей нуля обладает свойством