Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4.4. Свойства ядерных локально выпуклых пространств4.4.1. Установим прежде всего свойство, позволяющее многое в изучении ядерных пространств сводить к рассмотрению гильбертовых пространств. А именно, справедливо следующее Предложение. В каждом ядерном локально выпуклом пространстве Доказательство. Обозначим через совокупность всех окрестностей нуля
Тогда формула
определяет на
Тем самым
4.4.2. В качестве простого следствия только что доказанной теоремы получается следующая Теорема. Локально выпуклое пространство
Доказательство. Так как по теореме 2.5.5 в гильбертовых пространствах абсолютно суммирующие отображения совпадают с отображениями Гильберта — Шмидта, то свойство 4.4.3. Предложение. Для ядерных и дуальноядерных локально выпуклых пространств Доказательство. Справедливость нашего утверждения вытекает из того, что каждое
соответственно
где V — любая окрестность нуля из 4.4.4. Ядерность всех канонических отображений Предложение. Если для локально выпуклого пространства
для любого множества индексов Доказательство. Пусть
Так как для каждой окрестности нуля
имеем
так что
Поскольку конечномерное ограниченное множество
Поэтому
и, таким образом,
для всех линейных форм а
Тем самым семейство
Итак, мы показали, что при нашем предположении все суммируемые семейства в
для каждого множества индексов 4.4.5. Из полученных результатов и предложения 4.2.10 вытекает Теорема. Локально выпуклое пространство 4.4.6. Кроме того, в силу 4.3.3 справедлива следующая Теорема. Метрическое или дуально-метрическое локально выпуклое пространство 4.4.7. В качестве простого следствия из 4.4.3 получаем Предложение. В ядерном или дуально-ядерном локально выпуклом пространстве Доказательство. Так как любое ограниченное подмножество пространства
— предкомпактное подмножество пространства
где
— замкнутый единичный шар пространства
Тем самым наше утверждение доказано, поскольку 4.4.8. Справедливо следующее дополняющее 4.4.7 Предложение. В дуально-ядерном локально выпуклом пространстве Доказательство. Каждое ограниченное подмножество 4.4.9. Ограниченные подмножества ядерного локально выпуклого пространства Предложение. Для каждого ядерного локально выпуклого пространства Доказательство. 4.4.10. Покажем теперь, что сколь угодно больших ядерных метрических или дуально-метрических пространств не существует. А именно, справедлива Теорема. Все ядерные метрические или дуальнометрические локально выпуклые пространства сепарабельны. Доказательство. 1) Рассмотрим сначала ядерное метрическое локально выпуклое пространство
Тогда для каждого натурального числа
Но тем самым доказано, что двойная последовательность 2) Рассмотрим теперь ядерное дуально-метрическое локально выпуклое пространство
Так как 4.4.11. Предложение. Каждое ограниченно полное ядерное или дуально-ядерное локально выпуклое пространство Доказательство. Так как, согласно 4.4.7, все ограниченные множества в ядерном или дуально-ядерном локально выпуклом пространстве предкомпактны, то все замкнутые ограниченные множества в 4.4.12. Для доказательства нижеследующей теоремы нам понадобится Лемма. Каждое ядерное дуально-метрическое локально выпуклое пространство Доказательство. Поскольку метрическое локально выпуклое пространство В силу определения 0.7.3 отсюда и из 4.4.11 получается Теорема. Все ядерные 4.4.13. Сопоставление теорем 4.3.3 и 4.4.12 приводит к следующему замечательному результату. Теорема. Соотнесение
устанавливает взаимно однозначное соответствие между ядерными 4.4.14. Рассмотрев ядерные метрические и дуальнометрические локально выпуклые пространства, охарактеризуем в заключение ядерные нормированные пространства. Теорема. Нормированное пространство ядерно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Доказательство. Замкнутый единичный шар
|
1 |
Оглавление
|