5.3. Пополнения

5.3.1. Важнейшим результатом этого параграфа является следующее

Предложение. Пополнение (ограниченное пополнение) ядерного локально выпуклого пространства ядерно.

Доказательство. Из определения пополнения локально выпуклого пространства следует, что замыкания окрестностей нуля образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в Отнесение каждой линейной форме ее непрерывного продолжения а на устанавливает взаимно однозначное соответствие между сопряженными пространствами благодаря чему они отождествимы. Но тогда для каждой окрестности нуля имеем так что нормированные пространства совпадают. Поэтому фундаментальная система окрестностей нуля обладает свойством следовательно, ядерно. Тогда из 5.1.1 следует, что и ограниченное пополнение пространства как подпространство ядерного пространства должно быть ядерным.

5.3.2. Для описания пополнения ядерного метрического или дуально-метрического локально выпуклого пространства нам понадобится

Лемма. Каждое локально выпуклое пространство в котором все ограниченные множества предкомпактны, плотно в

Доказательство. В силу 0.6.7 сильная и слабая топологии в для каждой окрестности нуля совпадают, и потому компактное множество в Но тогда снова в силу 0.6.7 на биполяре в каждого множества слабая топология совпадает с натуральной. Наконец, для любого элемента х из существует множество такое, что Но так как по теореме о биполяре есть слабое замыкание

множества то в найдется направленная система сходящаяся к х в слабой, а тем самым и в натуральной топологии.

Теперь получаем

Предложение. Пополнение ограниченное пополнение ядерного метрического или дуально-метрического локально выпуклого пространства есть ядерное соответственно -пространство, отождествимо с

Доказательство. Так как в силу предложения 0.7.4, соответственно леммы 4.4.12, квазибочечно, то натуральная топология в совпадает с сильной. Следовательно, в силу предыдущей леммы, есть плотное подпространство ядерного соответственно -пространства и потому можно рассматривать как пополнение пространства

При доказательстве предыдущей леммы было показано, что каждый элемент есть даже предел ограниченной направленной системы из Поэтому ограниченное пополнение пространства совпадает с его пополнением.