4.2. Суммируемые семейства в ядерных локально выпуклых пространствах

4.2.1. Пусть произвольное локально выпуклое пространство. Будем писать

если линейное пространство или совпадает с и

если, кроме того, -топология совпадает с -топологией.

4.2.2. Предложение. Если ядерное локально выпуклое пространство, то

при любом множестве индексов

Доказательство. В силу 4.1.4 для каждой окрестности нуля существуют окрестность нуля и последовательность линейных форм такие, что

и

Поэтому для всех семейств поскольку

выполняется неравенство

Следовательно, все слабо суммируемые семейства в абсолютно суммируемы, так что

Но одновременно мы показали также, что -топология мажорирует -топологию, а тогда они должны совпадать.

4.2.3. Предложение 4.2.2 допускает обращение.

Предложение. Каждое локально выпуклое пространство для которого при каком-нибудь бесконечном множестве индексов I

или

ядерно.

Доказательство. Прежде всего заметим, что вследствие включений

выполняющихся для любого локально выпуклого пространства (1) всегда влечет (2). Обратно, если выполнено (2), так что -топология на совпадает с -топологией, то для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такая, что

Пусть теперь произвольное конечное семейство из Возьмем конечное множество индексов из имеющее столько же элементов, сколько имеет множество и образуем семейство в котором при для Из тождеств

и

следует тогда неравенство

Тем самым каноническое отображение пространства на абсолютно суммирующее, и фундаментальная система окрестностей нуля обладает свойством

4.2.4. Объединяя предложения 4.2.2 и 4.2.3, получаем:

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда для некоторого (каждого) бесконечного множества индексов I имеет место тождество

4.2.5. Для метрического локально выпуклого пространства из равенства

в силу теоремы 2.1.3 вытекает, что -топология мажорирует -топологию. Следовательно, эти топологии совпадают и

Поэтому для метрических локально выпуклых пространств справедливо следующее усиление теоремы 4.2.4, которое в силу теоремы 4.2.12 и леммы 4.3.3 распространяется также на дуально-метрические локально выпуклые пространства.

Теорема. Метрическое или дуально-метрическое локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда для некоторого (каждого) бесконечного множества индексов I выполняется равенство

4.2.6. Вопрос об области, на которую еще распространяется предыдущая теорема, формулирует следующая

Проблема. Какими свойствами должно обладать локально выпуклое пространство чтобы выполнение равенства

для какого-либо бесконечного множества индексов влекло ядерность

4.2.7. Перейдем к распространению результатов этого параграфа на дуально-ядерные локально выпуклые пространства. Нам понадобится

Лемма. Если дуально-ядерное локально выпуклое пространство, то для каждого ограниченного множества В из существует ограниченное множество такое, что

Доказательство. По предположению

конечно для каждой окрестности нуля так что можно образовать множество

Тогда

и

Выберем теперь множество так, чтобы и каноническое отображение было абсолютно суммирующим. Поскольку при этом всегда можно добиться, чтобы -норма отображения не превосходила единицу, получим неравенство

Но тогда

4.2.8. Предложение. Если дуально-ядерное локально выпуклое пространство, то

для каждого множества индексов

Доказательство. Так как каждое слабо суммируемое семейство в образует одноэлементное ограниченное множество в то в силу только что доказанной леммы для него существует множество такое, что

Следовательно, все слабо суммируемые семейства в даже вполне суммируемы, так что

4.2.9. Предложение. Каждое дуально-ядерное локально выпуклое пространство обладает свойством

Доказательство. Так как каждое ограниченное множество В из можно рассматривать и как ограниченное множество в то в силу леммы 4.2.7 существует ограниченное множество такое, что

А это и значит, что обладает свойством

4.2.10. Соединение предложений 4.2.8 и 4.2.9 допускает обращение.

Предложение. Каждое локально выпуклое пространство, обладающее свойством и такое, что для некоторого бесконечного множества индексов I выполняется равенство

или

дуально-ядерно.

Доказательство. Прежде всего заметим, что вследствие включений

выполняющихся для всякого локально выпуклого пространства (1) всегда влечет (2). С другой стороны, каково бы ни было

есть ограниченное множество в Так как из (2) следует, что тождественное отображение пространства на себя абсолютно суммирующее, то в силу теоремы 2.1.2 В должно быть ограниченным множеством В силу предположения тогда существует множество

такое, что

Но отсюда вытекает, что

Тем самым каноническое отображение пространства в абсолютно суммирующее, и фундаментальная система ограниченных множеств обладает свойством

4.2.11. Предложения 4.2.8, 4.2.9 и 4.2.10 объединяет следующая

Теорема. Локально выпуклое пространство дуально-ядерно тогда а только тогда, когда оно обладает свойством и для некоторого (каждого) бесконечного множества индексов I выполняется равенство

4.2.12. В качестве частного случая в силу теоремы 1.5.8 получаем аналог теоремы 4.2.5.

Теорема. Метрическое или дуально-метрическое локально выпуклое пространство дуально-ядерно тогда и только тогда, когда для некоторого (каждого) бесконечного множества индексов выполняется равенство