Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
5.5. Пространства непрерывных линейных отображений
5.5.1. Предложение. Если — дуально-ядерное, ядерное локально выпуклые пространства, то ядерно.
Доказательство. Рассмотрим произвольную окрестность нуля пространства где Так как дуально-ядерно, то существует такое, что и каноническое отображение пространства в ядерно. Поэтому существуют линейные формы из замкнутого единичного шара пространства и элементы такие, что
и
откуда
Далее, в силу 4.1.4 существуют окрестность нуля и последовательность непрерывных линейных форм такие, что
и
Пусть теперь непрерывные линейные формы на определяемые формулами
Так как
то
Кроме того, для всех имеем
откуда
Но в силу 4.1.4 из (1) и (2) следует, что локально выпуклое пространство ядерно.
5.5.2. Каковы бы ни были локально выпуклые пространства алгебраическое тензорное произведение можно отождествить с линейным пространством если отнести каждому элементу
отображение
При этом оказывается, что е-топология в совпадает с топологией, индуцируемой в из Легко показать, что если ядерно, то плотно в Поэтому локально выпуклое пространство можно рассматривать как плотное подпространство полного локально выпуклого тензорного произведения Если теперь предположить еще, что дуально-ядерно, то в силу 5.4.2 будет ядерным. В силу 5.1.1 то же будет верно тогда и для Тем самым мы показали, что 5.5.1 вытекает также из предложения 5.4.1.
— дуально-ядерное, 
ядерное локально выпуклые пространства, то 
ядерно.
пространства 
где 
Так как 
дуально-ядерно, то существует такое, что 
и каноническое отображение пространства 
в 
ядерно. Поэтому существуют линейные формы 
из замкнутого единичного шара пространства 
и элементы 
такие, что
и последовательность непрерывных линейных форм 
такие, что
непрерывные линейные формы на 
определяемые формулами
имеем 
ядерно.
алгебраическое тензорное произведение 
можно отождествить с линейным пространством 
если отнести каждому элементу
совпадает с топологией, индуцируемой в 
из 
Легко показать, что если 
ядерно, то 
плотно в 
Поэтому локально выпуклое пространство 
можно рассматривать как плотное подпространство полного локально выпуклого тензорного произведения 
Если теперь предположить еще, что 
дуально-ядерно, то 
в силу 5.4.2 будет ядерным. В силу 5.1.1 то же будет верно тогда и для 
Тем самым мы показали, что 5.5.1 вытекает также из предложения 5.4.1.