1.3. Суммируемые семейства в локально выпуклых пространствах

1.3.1. Для каждого слабо суммируемого семейства и каждого множества семейство

также принадлежит Эти семейства образуют направленную систему, если принять за отношение в теоретико-множественное включение

Семейство будет называться в дальнейшем суммируемым, если для него справедливо соотношение

1.3.2. Из этого определения непосредственно следует, что совокупность всех суммируемых семейств из образует относительно операций

линейное пространство; мы будем всегда наделять его -топологией, индуцированной из

1.3.3. Предложение. Пространство I) для каждого локально выпуклого пространства есть замкнутое линейное подпространство в I)

Доказательство. Пусть семейство принадлежит замыканию пространства Тогда для каждой окрестности нуля существует семейство такое, что

Пусть теперь множество таково, что

Так как

то

Следовательно,

т. e. . Тем самым справедливость нашего утверждения доказана.

1.3.4. В силу 1.2.4 и 1.3.3 справедливо следующее Предложение. Если полно, то и полно.

1.3.5. Отметим без доказательства, что в слабо ограниченно полном локально выпуклом пространстве все слабо суммируемые семейства суммируемы. Вообще же, собственное линейное подпространство в С другой стороны, справедливо

Предложение. Если то

Доказательство. Для любой окрестности нуля из существует множество такое, что

Тогда для каждого множества содержащего и всех выполняется неравенство

а отсюда и следует, что

1.3.6. Теорема. Семейство в локально выпуклом пространстве суммируемо тогда и только тогда, когда частичные суммы

образуют систему Коши.

Доказательство. Если — система Коши, то для каждой окрестности нуля существует

множество такое, что

Тогда для любых имеет место неравенство

так что в силу леммы 1.1.2 для всех справедлива оценка

Но это означает, что для каждого множества содержащего Поскольку было произвольной окрестностью нуля из тем самым доказано, что

Обратно, если произвольное суммируемое семейство из то

и семейства образуют систему Коши в Поэтому для каждой окрестности нуля существует множество такое, что

Отсюда следует, что для всех непрерывных линейных форм

так что по теореме о биполяре

Но тем самым мы показали, что частичные суммы любого суммируемого семейства образуют систему Коши.

1.3.7. Из только что доказанной теоремы следует, что каждому семейству можно отнести в качестве суммы принадлежащий пополнению пространства предел системы Коши Пишем тогда

Если множество индексов I конечно, то разумеется, совпадает с обычной суммой.

Следует подчеркнуть, что при определении расположение элементов не играет никакой роли.