1.3. Суммируемые семейства в локально выпуклых пространствах
1.3.1. Для каждого слабо суммируемого семейства
и каждого множества
семейство
Следовательно,
т. e.
. Тем самым справедливость нашего утверждения доказана.
1.3.4. В силу 1.2.4 и 1.3.3 справедливо следующее Предложение. Если
полно, то и
полно.
1.3.5. Отметим без доказательства, что в слабо ограниченно полном локально выпуклом пространстве все слабо суммируемые семейства суммируемы. Вообще же,
собственное линейное подпространство в
С другой стороны, справедливо
Предложение. Если
то
Доказательство. Для любой окрестности нуля
из
существует множество
такое, что
Тогда для каждого множества
содержащего
и всех
выполняется неравенство
а отсюда и следует, что
1.3.6. Теорема. Семейство
в локально выпуклом пространстве
суммируемо тогда и только тогда, когда частичные суммы
образуют систему Коши.
Доказательство. Если — система Коши, то для каждой окрестности нуля
существует