выпуклое пространство
все билинейные формы,
ядерны.
Доказательство. Пусть
— окрестности нуля, при которых
Так как
ядерно, то найдется окрестность нуля
такая, что
и каноническое отображение пространства
на
ядерно. Поэтому существуют линейные формы
и элементы
такие, что
и
Тогда
Для линейных форм
определяемых формулами
имеем
так что
При этом по предыдущему
7.4.4. Свойство ядерных локально выпуклых пространств, установленное в 7.4.3, является характеристическим. А именно, справедлива
Теорема. Локально выпуклое пространство
ядерно тогда и только тогда, когда для любого локально выпуклого пространства
все билинейные формы
ядерны.
Доказательство. Необходимость этого условия уже доказана, так что остается доказать его достаточность. Для этого возьмем произвольную окрестность нуля
и рассмотрим билинейную форму
определенную формулой
В силу предположения, она представима в виде
где
линейные формы из
удовлетворяющие при надлежащей окрестности нуля
условию
Тогда для всех
имеем
откуда, вводя линейные формы
получаем
А так как при этом
то
в силу 4.1.4 ядерно.
7.4.5. По аналогии с 7.3.4 может быть поставлена
Проблема. Ядерно ли локально выпуклое пространство
если все билинейные формы
ядерны?