7.4. Теорема о ядре

7.4.1. В дальнейшем будет означать множество всех непрерывных билинейных форм, определенных на произведении локально выпуклых пространств Как известно, билинейная форма непрерывна тогда и только тогда, когда существуют окрестности нуля такие, что

7.4.2. Билинейная форма В называется ядерной, если она представима в виде

где линейные формы из удовлетворяющие условию

при некоторых окрестностях нуля и Все ядерные билинейные формы непрерывны.

7.4.3. Теорема о ядре. Если —ядерное локально выпуклое пространство, то каково бы ни было локально

выпуклое пространство все билинейные формы, ядерны.

Доказательство. Пусть — окрестности нуля, при которых

Так как ядерно, то найдется окрестность нуля такая, что и каноническое отображение пространства на ядерно. Поэтому существуют линейные формы и элементы такие, что

и

Тогда

Для линейных форм определяемых формулами

имеем

так что

При этом по предыдущему

7.4.4. Свойство ядерных локально выпуклых пространств, установленное в 7.4.3, является характеристическим. А именно, справедлива

Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда для любого локально выпуклого пространства все билинейные формы ядерны.

Доказательство. Необходимость этого условия уже доказана, так что остается доказать его достаточность. Для этого возьмем произвольную окрестность нуля и рассмотрим билинейную форму определенную формулой

В силу предположения, она представима в виде

где линейные формы из удовлетворяющие при надлежащей окрестности нуля условию

Тогда для всех имеем

откуда, вводя линейные формы получаем

А так как при этом

то в силу 4.1.4 ядерно.

7.4.5. По аналогии с 7.3.4 может быть поставлена

Проблема. Ядерно ли локально выпуклое пространство если все билинейные формы ядерны?