Глава 7. ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Понятие топологического тензорного произведения двух гильбертовых пространств впервые всплыло в 1936—37 г.г. в работах Меррея и Неймана (см., например, [1]). Распространение этого начинания на банаховы пространства было осуществлено Шаттеном [1]. Подробную сводку дальнейших исследований в этом направлении можно найти в монографии Шаттена [3]. Наконец, общие локально выпуклые тензорные произведения ввел Гротендик [1], [2], [3]. Они составляют существенную основу его теории ядерных локально выпуклых пространств. Напротив, при нашем построении этой теории локально выпуклые тензорные произведения не используются. Поэтому мы лишь очень коротко остановимся на них в этой главе.
Мы начинаем с определения алгебраического тензорного произведения двух локально выпуклых пространств и затем вводим в нем две локально выпуклые топологии, вообще говоря отличающиеся друг от друга. Уже в § 7.2 мы устанавливаем связь с результатами § 4.2, показывая, что полное локально выпуклое тензорное произведение соответственно для каждого полного локально выпуклого пространства 
отождествимо с пространством 
соответственно 
Эти утверждения, равно как и данная в теореме 7.3.1 характеризация ядерных локально выпуклых пространств, впервые были доказаны Гротепдиком [3].
Л. Шварцу [1] удалось показать в 1948 г., что для каждого непрерывного линейного отображения 
пространства 
существует однозначно определенное распределение 
такое, что
Таким образом, всякое такое отображение представимо с помощью некоторого "ядра“. Исследование вопроса об области применимости таких теорем представления привело Гротендика к понятию ядерного локально выпуклого пространства.
Мы оставляем в стороне классическую "теорему о ядре", отсылая читателя к книге Гельфанда и Виленкина [1], а также к работам Богдановича [1], Эренпрайса [1] и Гаска [1]. Вместо этого мы устанавливаем в 7.4.3 абстрактную форму теоремы о ядре, доставляющую нам еще одну характеризацию ядерных локально выпуклых пространств.
Последний параграф этой главы также представляет для нас в основном лишь исторический интерес. А именно, он показывает, как в рамках теории локально выпуклых тензорных произведений возникает понятие ядерного отображения. Быть может, следовало бы отметить еще весьма простое новое доказательство теоремы 7.5.1.
