6.3. Пространства гармонических функций

6.3.1. В дальнейшем будет означать точку -мерного евклидова пространства а

— расстояние между точками Под средним значением вещественной или комплексной функции на шаре

понимается интеграл

где объем -мерного единичного шара.

6.3.2. Непрерывная вещественная или комплексная функция называется гармонической на открытом подмножестве пространства если для каждого шара выполняется равенство

Совокупность всех гармонических функций на О образует относительно операций

линейное пространство, которое можно наделить локально выпуклой топологией с помощью преднорм

где К пробегает все компактные подмножества множества Рассмотрим теперь специальные компактные множества состоящие из всех точек таких, что

Так как любое компактное множество содержится во всех множествах начиная с некоторого, то топология пространства порождается уже монотонно возрастающей последовательностью преднорм

Заметим, наконец, что, как легко следует из определяющего свойства гармонических функций, полно и тем самым есть -пространство.

6.3.3. Теорема. Локально выпуклое пространство ядерно.

Доказательство. Для любого компактного множества существует положительное число такое,

что (снова компактное) множество

все еще содержится в Тогда для и всех гармонических функций в силу определяющего их свойства имеем

откуда

Поскольку непрерывные линейные формы определяемые для всех формулой

содержатся в поляре окрестности нуля

формула

определяет положительную меру Радона на такую, что

Следовательно, в силу 4.1.5 ядерно.