2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.

Определение 4. Будем говорить, что ряд сходится абсолютно на множестве Е, если в любой точке соответствующий числовой ряд сходится абсолютно.

Утверждение 1. Если ряды таковы, что при любом и при всех достаточно больших номерах то из равномерной сходимости ряда на Е вытекает абсолютная и равномерная сходимость ряда на том же множестве Е.

В силу принятых условий при всех достаточно больших номерах (пусть ) в любой точке выполнены неравенства

По критерию Коши для любого можно в силу равномерной сходимости ряда указать номер так, что при любых и любом Но тогда из написанных неравенств следует, что в силу того же критерия Коши должен равномерно сходиться и ряд

Следствие 2 (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда). Если для ряда можно указать такой сходящийся числовой ряд что при всех достаточно больших номерах то ряд сходится на множестве Е абсолютно и равномерно.

Сходящийся числовой ряд можно рассматривать как ряд из постоянных на множестве Е функций, который в силу критерия Коши сходится равномерно на Е. Значит, признак Вейерштрасса вытекает из утверждения 1, если положить в последнем

Признак Вейерштрасса является наиболее простым и вместе с тем наиболее часто используемым достаточным условием равномерной сходимости ряда.

В качестве примера его применения докажем следующее полезное

Утверждение 2. Если степенной ряд сходится в точке то он сходится абсолютно и равномерно в любом круге где

Из сходимости ряда в силу необходимого признака сходимости числового ряда следует, что при Значит, в рассматриваемом круге при всех

достаточно больших значениях справедливы оценки Поскольку ряд при сходится, из оценок на основе мажорантного признака равномерной сходимости получаем высказанное утверждение 2.

Сопоставляя это утверждение с формулой Коши — Адамара для радиуса сходимости степенного ряда (см. гл. V, § 5, (17)), приходим, к заключению, что имеет место

Теорема 2 (о характере сходимости степенного ряда). Степенной ряд сходится в круге радиус которого определяется по формуле Коши — Адамара. Вне этого круга ряд расходится. На любом замкнутом круге, лежащем строго внутри круга К сходимости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно.

Замечание 3. Как показывают примеры 1 и 5, на всем круге К степенной ряд не обязан при этом сходиться равномерно. Вместе с тем может случиться, что степенной ряд равномерно сходится даже на замкнутом круге

Пример 6. Радиус сходимости ряда У равен единице.

Но если то — по признаку Вейерштрасса рассматриваемый ряд сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге

3. Признак Абеля — Дирихле. Следующие пары родственных достаточных условий равномерной сходимости ряда несколько более специальны и существенно связаны с вещественнозначностью определенных компонент рассматриваемых рядов. Но эти условия тоньше, чем признак Вейерштрасса, поскольку они позволяют исследовать и такие ряды, которые сходятся, но неабсолютно.

Определение 5. Говорят, что семейство функций равномерно ограничено на некотором множестве , если существует такое число что для любой функции справедливо соотношение .

Определение 6. Последовательность функций называется неубывающей (невозрастающей) на множестве

если для любого таковой является числовая последовательность Неубывающие и невозрастающие на множестве последовательности функций называются монотонными последовательностями на этом множестве.

Напомним (в случае необходимости см. гл. VI, § 2, п. 3) следующее тождество, называемое преобразованием Абеля:

где

Если — монотонная последовательность вещественных чисел, то, даже если комплексные числа или векторы какого-то нормированного пространства, на основании тождества (4) можно получить следующую нужную нам оценку:

В самом деле,

В участвующем в этой выкладке равенстве как раз и использована монотонность последовательности чисел

Утверждение 3 (признак Абеля — Дирихле равномерной сходимости ряда). Для равномерной сходимости на множестве Е ряда члены которого являются произведениями комплекснозначных функций и вещественнозначных функций достаточно, чтобы выполнялась любая пара следующих условий:

частичные суммы ряда равномерно ограничены на

последовательность функций монотонна и равномерно стремится к нулю на множестве или

ряд равномерно сходится на Е,

последовательность функций монотонна и равномерно ограничена на Е.

Л Монотонность последовательности позволяет при каждом записать аналогичную (5) оценку

где в качестве возьмем

Если выполнена пара условий то, с одной стороны, существует такая постоянная М, что при любом и любом другой стороны, каково бы ни было число при всех достаточно больших значениях и любом будет выполнено неравенство шах

Значит, из следует, что при всех достаточно больших значениях и любом будет т. е. для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.

В случае пары условий ограниченной оказывается величина . В то же время в виду равномерной сходимости ряда по критерию Коши для любого при любых достаточно больших значениях в любой точке будет Учитывая это, из неравенства (5) вновь заключаем, что для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.

Замечание 4. В случае, когда функции постоянные, утверждение 3 превращается в так называемый признак Абеля — Дирихле сходимости числовых рядов.

Пример 7. Исследуем при сходимость ряда

Поскольку

то при для ряда (6) не выполнено необходимое условие сходимости и он расходится при любом значении Таким образом, в дальнейшем можно считать, что

Если то из (7) на основании признака Вейерштрасса заключаем, что ряд (6) сходится абсолютно и равномерно на всей числовой оси

Для исследования сходимости при воспользуемся признаком Абеля—Дирихле, полагая

Поскольку при постоянные функции монотонно и, очевидно, равномерно относительно стремятся к нулю, то остается исследовать частичные суммы ряда

Для удобства дальнейших ссылок мы рассмотрим суммы отличающиеся от частичных сумм нашего ряда только начальным слагаемым 1.

Используя формулу геометрической прогрессии и формулу Эйлера, последовательно находим при

Значит, для любого

откуда по признаку Абеля—Дирихле вытекает, что ряд (6) при сходится равномерно на любом множестве на котором . В частности, ряд (6) просто сходится при любом Если же то и ряд (6) превращается в числовой ряд который при расходится.

Покажем, что из сказанного уже можно заключить, что при ряд (6) не может сходиться равномерно ни на каком множестве Е, замыкание которого содержит точки вида

Положим для определенности, что Ряд при расходится. По критерию Коши найдется число

такое, что, какое бы ни взять, можно будет подобрать числа так, что . В силу непрерывности функций на отсюда следует, что в Е можно выбрать точку х, столь близкую к нулю, что

Но это в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда означает, что на указанном множестве Е ряд (6) не может сходиться равномерно.

В дополнение к сказанному можно отметить, чго, как видно из равенства (7), ряд (6) сходится неабсолютно при Замечание 5. Для дальнейшего полезно заметить, что, отделяя в (8) действительную и мнимую части, получаем следующие соотношения:

справедливые при

В качестве еще одного примера использования признака Абеля-Дирихле докажем следующее Утверждение 4 (так называемая вторая теорема Абеля о степенных рядах). Если степенной ряд сходится в некоторой точке , то он сходится равномерно на отрезке с концами

Точки указанного отрезка представим в виде где . Подставив это выражение для в данный степенной ряд, получим ряд По условию числовой ряд сходится, а последовательность функций монотонна и равномерно ограничена единицей на отрезке [0, 1]. Значит, выполнены условия признака Абеля — Дирихле и утверждение 4 доказано.

Задачи и упражнения

(см. скан)