ГЛАВА XIV. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ

В настоящей главе излагается матричный метод определения периодических режимов в релейных системах регулирования. Рассматриваются симметричные и несимметричные релейные характеристики с учетом люфта или зоны нечувствительности. Излагается метод исследования устойчивости периодических режимов по первому приближению и его обоснование путем распространения второго метода Ляпунова на решение уравнений в конечных разностях. Конечные результаты представляются в замкнутой форме и выражаются через исходные параметры исследуемых систем регулирования.

1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим релейную систему автоматического регулирования (рис. XIV. 1), возмущенное движение которой определяется системой дифференциальных уравнений вида

где координаты системы и их первые две производные во времени;

а — аргумент управления (или вход релейного элемента);

— управляющая функция (или характеристика релейного элемента).

Коэффициенты и определяющие параметры системы, предполагаются постоянными.

Рис. XIV. 1. Структурная схема релейной системы

Управляющая функция релейного типа принимает два или три дискретных значения в зависимости от величины, знака и направления изменения аргумента управления а.

Рассмотрим симметричные управляющие функций, приведенные на рис. XII 1.2, б и г.

Рис. XIV. 2. Несимметричная релейная характеристика с гистерезисом

Параметры определяют постоянное по величине внешнее воздействие, наложенное на систему. Кроме того, к такому виду можно свести случай, когда релейная характеристика не симметрична относительно оси а. Такой случай представлен, например, на рис. XIV.2. Уравнения возмущенного движения (XIV. 1) являются наиболее общими для стационарного случая, когда релейная система регулирования обладает одним регулирующим органом.

В матричной форме уравнения (XIV.1) записываются в виде;

где

— оператор дифференцирования

Уравнения (XIV.2) можно записать более компактно как

или в виде

В уравнениях (XIV.3), (XIV.4) . С суть квадратные матрицы, — матрицы столбцы и строчки порядка соответствующих элементов. Будем предполагать, что определитель, составленный из коэффициентов старших производных в уравнениях (XIV. 1) отличен от нуля. Тогда систему уравнений (XIV. 1) можно разрешить относительно старших производных и затем привести к нормальной форме

где

В матричной форме уравнения (XIV.5) запишутся так:

или более компактно в виде

где Р — квадратная матрица, получаемая по ходу вычислений; — столбцы и строка порядка соответствующих элементов.

Исследование динамики релейной системы регулирования частности, определение возможности возникновения периодических режимов колебаний удобнее вести, если уравнения (XIV.5) предварительно привести к некоторому простейшему виду. Этот вопрос тесно связан с преобразованием линейной части уравнений (XIV.5) к так называемому каноническому виду. Если корни характеристического уравнения

линейной части системы (XIV.5) простые, то канонические уравнения представятся в виде

В матричной форме уравнения (XIV.10) можно записать так:

В практических приложениях имеет большое значение случай, когда среди корней имеется двойной нулевой корень. Пусть простые корни, отличные от нуля, Тогда уравнения (XIV.5) можно привести к каноническому виду

или в матричной записи

Канонические уравнения (XIV.11) и (XIV.13) можно представить компактно в единой матричной записи

здесь — матрицы-столбцы и строка соответствующих величин соответственно, а

квадратная матрица в общем случае будет квазидиагональной. Вид ее зависит от корней характеристического уравнения (XIV.9). Для простых корней

Для случая, когда простые и отличны от нуля, а

Фактически приведение системы уравнений (XIV.5) к простейшему виду осуществляется посредством линейного преобразования координат

с неособой матрицей

Обратное преобразование координат

осуществляется матрицей

являющейся обратной по отношению к

Так что

где Е — единичная матрица порядка.

Подставим в уравнение (XIV.8) определенные из соотношения (XIV. 17), а затем помножим обе части первого уравнения (XIV.8) слева на матрицу Тогда получим

Из уравнений (XIV.14), (XIV.22) устанавливаем равенства

из которых легко определить также соотношения

Равенства (XIV.23, 24) устанавливают связь между параметрами уравнений (XIV.5) в нормальной форме и канонических уравнений (XIV. 10) и (XIV. 12) через элементы матриц прямого (XIV. 17) и обратного (XIV. 19) преобразования координат.

Метод приведения уравнений к каноническому виду является распространенным в математике. В теории автоматического регулирования этот прием впервые применил А. И. Лурье [3].