7. АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Специфика задачи идентификации в самонастраивающихся системах обусловлена не только требованием точности идентификации (и часто не столько требованием точности, например, при наличии в системе замкнутых циклов самонастройки), но и временем, отводимым на идентификацию, недопустимостью больших запаздываний в выдаче характеристик, удобством использования характеристик в алгоритме.

Здесь остановимся на идентификации существенно нестационарных систем и ограничимся рассмотрением методов определения лишь нестационарных передаточных функций.

Нестационарные передаточные функции системы с переменными параметрами (см. гл. IV. § 5) полностью описывают ее движение под воздействием управляющего сигнала, являясь аналогами импульсной переходной функции в спектральной области; причем эти передаточные функции характеризуют систему на текущем, непрерывно изменяющемся интервале времени. Поэтому они удобны для описания динамических свойств звеньев в аналитических самонастраивающихся системах.

В § 14 гл. IV был рассмотрен статистический метод определения двумерной нестационарной передаточной функции, который может быть использован в аналитической самонастраивающейся системе. Здесь же остановимся на алгоритмах индентификации непосредственно по наблюдаемым реализациям входного и выходного сигналов системы при нулевых начальных условиях.

Разомкнутые алгоритмы идентификации. Рассмотрим определение сечения нестационарной сопряженной передаточной функции при Будем полагать, что эта передаточная функция должна быть найдена относительно некоторой ортонормированной системы функций на нестационарном отрезке

Согласно формуле (IV. 89) значение выходного сигнала объекта в момент времени определяется выражением

Поскольку для реальных систем

то можно ограничиться определением конечного числа ординат нестационарной сопряженной передаточной функции. Число будем считать ориентировочно известным. Тогда из формулы (XX. 36) в общем случае имеем

Аппроксимируем искомые ординаты сопряженной передаточной функции усеченным нестационарным рядом Фурье на отрезке относительно ортонормированной системы функций

При этом число также считается приближенно известным. Подставляя выражение (XX. 38) в (XX. 37), получим приближенное равенство

где

Считая равенство (XX.39) точным и придавая времени дискретных значений в пределах отрезка 0 получим систему линейных алгебраических уравнений для приближенного определения спектральных характеристик ординат нестационарной сопряженной передаточной функции

Таким образом, данный алгоритм определения нестационарной сопряженной передаточной функции состоит в вычислении ординат нестационарной спектральной характеристики входного сигнала идентифицируемого объекта относительно системы функций измерении ординат

выходного сигнала на текущем интервале работы системы вычислении коэффициентов решении системы алгебраических уравнений (XX.41) и расчетов по формуле (XX.38).

Для повышения помехоустойчивости алгоритма нужно отказаться от образования системы алгебраических уравнений по выражению (XX.39) путем дискретных выборок, а осуществить этот переход, определяя, например ординат спектральных характеристик правой и левой частей выражения (XX.38) по переменной на отрезке

Вычисленная передаточная функция позволяет найти в соответствии с формулой (IV.39) импульсную переходную функцию идентифицируемой системы

Спектральные характеристики дают возможность вычислить также и двумерную нестационарную передаточную функцию на квадрате Действительно, в соответствии с формулой (IV.36)

Подставляя формулу (XX.38) в (XX.42) и результаты в (XX.43), нетрудно получить

где функции

известны.

Рассмотренный принцип формирования алгоритма определения может быть использован для построения алгоритма непосредственного определения двумерной нестационарной передаточной функции на основе уравнения связи (IV.91). Однако в этом случае объем вычислений возрастает хотя бы потому, что алгоритм включает решение системы алгебраических уравнений для каждого

Замкнутый алгоритм идентификации. Синтезируем замкнутый алгоритм определения сечения нестационарной сопряженной передаточной функции

Пусть идентифицируемый объект имеет нулевые начальные условия. Построим модель этого объекта. Согласно формулам (XX.36), (XX.38) она описывается выражением

откуда легко находится нестационарная спектральная характеристика выходного сигнала модели

где

В схеме алгоритма, изображенной на рис. XX.22, модель, как и все остальные узлы алгоритма, представлена в матричной форме, причем входным сигналом модели является управляющий сигнал идентифицируемого объекта а выходным — нестационарная спектральная характеристика ее выходного сигнала.

Рис. XX.22. Алгоритм определения нестационарных передаточных функций по замкнутому циклу

Модель состоит из трех блоков. Блок 1 есть анализатор спектра управляющего сигнала объекта на текущем интервале ее работы относительно системы функций (см. гл. IV, § 11). Вырабатываемые анализатором ординат нестационарной спектральной характеристики являющихся функциями времени служат входными сигналами блока 2, который функционирует по формуле (XX.48). Этот блок состоит из параллельных ветвей с импульсными переходными функциями

Таким образом, блок 2 вырабатывает функций текущего времени Блок 3 функционирует по формуле (XX.47), вырабатывая ординат нестационарной спектральной характеристики выходного сигнала модели как функции времени Неизвестные параметры модели-ординаты спектральных характеристик будем формировать из условия минимума на текущем интервале интеграла от квадрата разности выходного сигнала идентифицируемой системы и ее модели:

где .

Учитывая формулу (IV. 110), выражение можно представить в виде

где нестационарная спектральная характеристика ошибки определяется выражением

Очевидно, что

Алгоритм настройки параметров модели синтезируем, используя градиентный метод в его простейшей форме (XX.21).

Из выражений (XX.50), (XX.51), (XX.47) найдем частную производную от показателя точности по искомому параметру с индексами

Ограничиваясь в формуле (XX.53) конечным числом слагаемых по что можно сделать, так как для реальных сигналов , учитывая формулу (XX.21), получим уравнения цепей настройки параметров

Итак, алгоритм формирования параметров (см. рис. XX.22) описывается выражениями (XX.51), (XX.52), (XX.54) и совместно с моделью системы составляет замкнутый алгоритм идентификации. В алгоритме настройки параметров блок 4 — есть анализатор спектра выходного сигнала объекта, функционирующий в соответствии с формулой (XX.52). Этот блок вырабатывает ординат нестационарной спектральной характеристики как функций времени Сравнивающий элемент 5 реализует выражение (XX.51), а блоки 6 и 7 — уравнение (XX.54). Управляющие элементы цепей настройки 7 имеют на своем выходе параметры модели как функции времени которые являются оценками спектральных характеристик ординат искомого сечения нестационарной сопряженной передаточной функции В блоках 8, 9 могут быть вычислены соответственно сечение нестационарной сопряженной передаточной функции по формуле (XX.38) и двумерная нестационарная передаточная функция по формуле (XX.44).

Рассмотренные алгоритмы могут быть использованы и для определения нестационарных передаточных функций на скользящем отрезке если эффективная память идентифицируемого объекта меньше

Экстраполяция нестационарных передаточных функций. По наблюдению движения системы определяется передаточная функция для текущего интервала времени Однако, если учесть ограниченность быстродействия ЦВМ, реализующей алгоритм самонастройки, то окажется, что в момент времени необходимо определять такие ординаты передаточной функции, которые она будет иметь в момент Другими словами, в момент должна определяться передаточная функция для интервала

Определение упрежденной нестационарной передаточной функции сводится к экстраполяции ее ординат как функций времени например, для двумерной нестационарной передаточной функции в простейшем случае принимается

или

Условия идентифицируемости. Разомкнутые алгоритмы определения нестационарных передаточных функций сводятся к решению систем линейных, алгебраических уравнений, матричная форма записи которых имеет вид

Так для системы уравнений (XX.41):

Для идентифицируемости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А не был равен нулю.

Физический смысл этого условия выясним, анализируя матрицу А. Определитель матрицы А этой системы окажется равным нулю, если хотя бы одна из первых ординат нестационарной спектральной характеристики входного сигнала окажется тождественно равной нулю в любой момент времени Действительно, если ордината то, как следует из формулы (XX.40), Поэтому элементы столбцов матрицы А окажутся равными нулю, следовательно, ее определитель тоже будет равен нулю.

Итак, если определяются ординаты при , то в этом диапазоне изменения дискретного переменного спектральная характеристика входного сигнала не должна иметь нулевых ординат. Данный вывод остается верным и для замкнутого алгоритма.

Для выполнения условия идентифицируемости необходимо также, чтобы ординаты спектральной характеристики были бы линейно независимы.

Точность идентификации тесно связана с условиями идентифицируемости. Решение системы алгебраических уравнений (XX.55) в матричной форме имеет вид

Если определитель матрицы А близок к нулю, т. е. матрица А является плохо обусловленной [15], то обратная матрица неустойчива. Неустойчивость матрицы проявляется в том, что малым изменениям элементов матрицы А соответствуют большие изменения элементов обратной матрицы Следовательно, если матрица А плохо обусловлена, то небольшие погрешности в определении коэффициентов алгебраических уравнений, вызываемые, например помехами, приводят к большим погрешностям в определении искомых параметров.

В связи с этим отметим, что хотя с увеличением пит точность аппроксимации сопряженной передаточной функции (импульсной переходной функции и т. д.) возрастает, однако при больших пят определитель матрицы А будет близок к нулю.