5. РЕАКЦИЯ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ НА МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИЕСЯ ВОЗДЕЙСТВИЯ

Пусть автоколебания релейной следящей системы удовлетворяют заданным требованиям в отношении амплитуды и частоты и полоса частот входного сигнала значительно меньше частоты автоколебаний. Имея в виду релейные элементы (рис. XIII.2, а и б), составим нелинейные разностные уравнения для случая, когда на вход следящей системы воздействует сигнал Переключения реле будут происходить под влиянием сигнала ошибки и автоколебательный режим станет теперь возмущенным. Период колебаний все время будет изменяться по отношению к своему кевозмущенному значению 20, будет также происходить непрерывное изменение соотношений между положительными и отрицательными полупериодами. Сообственно благодаря этому и происходит передача информации с входа следящей системы на ее выход.

Поскольку ошибка пригодной к эксплуатации следящей системы не может быть большой, то и отклонения автоколебательного режима от своего невозмущенного значения так же не могут быть большими. Это и дает основание исследовать точность и качество релейных следящих систем на основе уравнений первого приближения, которые в данном случае будут линейными уравнениями в конечных разностях.

Для составления исходных нелинейных уравнений, из которых затем будут получены уравнения первого приближения, используем кусочно-линейную аппроксимацию входного сигнала (рис. XIII.11).

На каждом этапе длительности входной сигнал представляется линейной функцией где являются функциями номера этапа и постоянны для каждого этапа.

Картина изменения переменной системы показана на рис. XIII.12. Под действием входного сигнала нарушается симметрия колебаний. Мерой нарушения симметрии выходных колебаний является коэффициент Этот коэффициент иногда называют коэффициентом команды. Из рис. XIII. 12 видно, что

где — продолжительность положительной части этапа;

— продолжительность отрицательной части этапа.

Рис. XIII. 11. Кусочно-линейная аппроксимация входного сигнала

Рис. XIII. 12. Возмущенные автоколебания

Заметим, что

для невозмущенного автоколебательного режима

Таким образом, действительно характеризует величину и знак воздействия («команды») со стороны релейного регулирующего органа на объект регулирования.

Всем переменным на положительном полуэтапе припишем индекс а на отрицательном т. е. например

являются выходными сигналами линейной части на обоих полуэтапах. Счет времени в каждом полуэтапе свой. Начало отсчета совпадает с началом полуэтапа.

Поэтому примем

Теперь запишем уравнения для положительного полуэтапа

Соответственно для отрицательного полуэтапа

Переключение внутри этапа произойдет в момент когда снизится до величины Отсюда условие переключения внутри этапа Переключение в конце этапа произойдет в момент когда достигнет значения Отсюда условие переключения в конце этапа

Из уравнений (XIII.54а) и (XIII.546) с учетом обозначений (XIII.53) и найденных условий переключения получим искомые уравнения в конечных разностях

Введем малые отклонения, т. е. положим:

При этом обозначим

Подставим выражения (XIII.57) и (XIII.58) в найденные уравнения (XIII.55) и (XIII.56). Заменим нелинейные функции, входящие в уравнения (XIII.55) и (XIII.56), линейными приближениями их рядов, и, исключая после этого уравнения установившегося автоколебательного режима, получим следующую систему линейных уравнений в конечных разностях:

где

Напомним, что — это значение производной выходного сигнала в автоколебательном режиме в момент переключения. При составлении уравнений (XIII.59) учтено, что значение этой производной в любой момент много больше производной входного сигнала, т. е. что Вследствие этого произведения отброшены как малые второго порядка.

После исключения из уравнений (XIII.59) величин получим в матричной форме

откуда

где — квадратная матрица с коэффициентами

и — матрица-столбец с коэффициентами

при этом

Заметим, что если переключение будет происходить с запаздыванием то коэффициенты матрицы А будут равны коэффициентам матрицы А в уравнении (XIII.39). Поскольку то уравнение (XIII.60) можно записать в виде

уравнение (XIII.60) [или (XIII.61)] составлено для случая, когда входной сигнал на интервале 20 изменяется по линейному закону. Если считать входной сигнал на. каждом интервале постоянным, то в уравнении следует положить Тогда для этого случая ступенчатой аппроксимации входного сигнала будем иметь

После -преобразования матричных уравнений (XIII.61) и (XI 11.62) получим

где — матрица, обратная матрице

Переходные процессы, или собственные движения системы, определяются корнями характеристического уравнения

где — определитель матрицы

Сопоставим корни характеристических уравнений (XI 11.66) и (XIII.44). Уравнение (XIII.66) соответствует интервалу дискретности 20, а уравнение (XIII.44) интервалу дискретности 0. Вследствие этого вещественные положительные корни уравнения (XI 11.66) будут равны квадратам положительных вещественных корней уравнения (XIII.44). Модули комплексных сопряженных корней уравнения (XI 11.66) будут равны квадратам модулей комплексных сопряженных корней уравнения Аргументы комплексных сопряженных корней уравнения (XIII.66) вдвое больше аргументов комплексных сопряженных корней уравнения (XIII.44).

Конечной целью исследования является определение элементарных передаточных функций являющихся отношением изображения координаты к изображению входной величины т. е.

Через элементарные передаточные функции выражаются передаточные функции для любого выходного сигнала, в том числе для коэффициента команды. Элементарные передаточные функции вычисляются по формуле

где — определитель, у которого столбец заменен на столбец если рассматривается уравнение (XIII.61), и на столбец если рассматривается уравнение (XIII.62).

Для использования формулы (XI 11.68) необходимо вычислить коэффициенты матрицы а также коэффициенты столбцов в правых частях матричных уравнений (XIII.61) и (XIII.62).

Обозначим коэффициенты матрицы как где к — строки — столбцы матрицы. Коэффициенты выражаются через коэффициенты а, матрицы А следующим образом:

Если

то

Коэффициенты столбцов имеют следующие выражения:

Как уже указывалось, через элементарные передаточные функции выражаются передаточные функции для любого выходного сигнала. Пусть, например, исследуется релейная система, структура которой показана на рис. XIII. 13. Требуется найти дискретную передаточную функцию для выходного сигнала т. е. определить

При этом передаточная функция линейной части

имеет простых полюсов и, следовательно, может быть представлена в виде (1), т. е.

Пусть из всех полюсов функции ее полюсов принадлежат передаточной функции которая так же может быть разложена по своим полюсам

Тогда, очевидно, искомая передаточная функция будет линейной комбинацией элементарных передаточных функций с коэффициентами (но не ), т. е.

Рис. XIII. 13. Релейная система с обратной связью

Если рассмотреть передаточную функцию для суммарного выходного сигнала линейной части (для сигнала х на схемах рис. XIII.13), то она будет иметь вид

Докажем, что

если рассматривается уравнение (XIII.61) или (XIII.63) и

если рассматривается уравнение (XIII.62) или (XIII.64).

Для доказательства уравнений (XIII.74) и (XIII.75) найдем выходной сигнал просуммировав выражение для с коэффициентами [см. уравнение (XIII.59)]

а так как

то

и

равенство (XIII.76) доказывает свойство (X 111.74). Если рассматривать уравнение (XIII.61), то в уравнениях (XIII.59) следует положить тогда, суммируя получим

Этим и доказывается справедливость выражения для передаточной функции

Замечательное свойство релейных систем по воспроизведению медленно меняющихся сигналов заключается в том, что эти сигналы воспроизводятся как дискретные сигналы без искажения; если входной сигнал аппроксимирован ступенчатой функцией, то он воспроизводится так же без искажения, но с запаздыванием на период автоколебаний. Неискаженное воспроизведение сигнала обеспечивается структурной схемой, показанной на рис. XIII. 1 или рис. XIII. 13 (разумеется, что к сигналам и на схеме рис. XIII. 13 понятие неискаженного воспроизведения не относится).

Свойство неискаженного воспроизведения входного сигнала на выходе является физически достаточно очевидным. Поскольку выходной сигнал — есть приращение выходного сигнала по отношению к его значению в автоколебательном режиме в моменты переключения, т. е. по отношению к величине а величина по условию всегда равна пороговому значению а, то, следовательно, всегда равно Если входной сигнал аппроксимирован ступенчатой функцией, то на переключение оказывает влияние значение входного сигнала, откуда

Таким образом, релейная система обладает свойством идеального воспроизведения дискретных значений входного сигнала соответствующих моментам переключения. В промежутке между переключениями выходные координаты не зависят от значений в эти моменты времени. В этом смысле свойство релейных систем совпадает со свойством импульсных систем.

Пример 5. Рассмотрим релейную систему со структурой, изображенной на рис. XIII. 13, когда Такой набор передаточных функций означает, что рассматривается весьма распространенная релейно-контактная следящая система с тахогенератором в корректирующей цепи обратной связи.

Передаточная функция линейной части

где

передаточная функция для входа

где

Коэффициенты матрицы

где

Коэффициенты матрицы

Главный определитель

или

где

Для данного примера ,

Кроме нулевого корня, имеется положительный корень всегда меньший единицы. Для ступенчатой аппроксимации входного сигнала найдем матрицу-столбец

Для линейной аппроксимации входного сигнала

Элементарные передаточные функции при ступенчатой аппроксимации входного сигнала:

или

или

Итак, передаточная функция для суммарной выходной величины имеет вид

Передаточная функция для выхода будет

где

Можно убедиться, что т. е. система является астатической по отношению к входному сигналу. Передаточная функция при линейной аппроксимации входного сигнала записывается в виде

где имеет прежнее значение, а будут иметь другие значения.

Передающие свойства дискретной системы, особенно при высокочастотном характере автоколебаний, удобнее оценивать не по передаточной функции а по передаточной функции для огибающей

Для данного случая передаточная функция для огибающей может быть представлена в виде

Множитель указывает на запаздывание, равное периоду автоколебаний.

В случае линейной аппроксимации входного сигнала передаточная функция для огибающей не будет содержать множителя Для выражения коэффициентов через коэффициенты исходной передаточной функции сопоставим переходные функции для обоих случаев: дискретного процесса

и огибающего процесса

Поскольку то Далее откуда , и наконец,

Переходная функция имеет начальное значение и далее нарастает по экспоненте с постоянной до своего установившегося значения.

Проанализируем зависимость и переходной функции от параметра обратной связи Так как

где

и

то

Заметим, что при имеем . С увеличением сверх единицы значение интенсивно приближается к единице, и быстро возрастает. Для рассматриваемого примера при было выбрано

такое значение при котором частота автоколебаний стала равной 9 гц. В этом случае

На рис. XIII. 14 приведена осциллограмма, полученная при электронном моделировании системы, рассмотренной в примере. Высокая точность совпадения расчетных результатов и результатов электронного моделирования подтверждает возможность надежного использования изложенной выше методики исследования релейных следящих систем.

Рис. XIII. 14. Переходная функция релейной системы (к примеру 5)