3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ КОЛЕБАНИЙ

Исследование устойчивости периодических режимов колебаний будем проводить с точностью до фазы, сочетая метод малых возмущений с методом припасовывания начальных условий.

Пусть

суть начальные условия найденного симметричного периодического решения уравнения (XIV.25). Тогда по прошествии времени координаты системы примут противоположные значения

Примем далее, что в момент переключения реле координаты системы несколько отличаются от тех значений, при которых возникает периодический режим колебаний, т. е.

Начальные условия (XIV.48) будут определять непериодическое решение уравнения (XIV.25). Для этого решения следующее переключение произойдет уже не по прошествии момента времени 0, а по истечении времени При этом координаты системы примут значения, близкие к значениям (XIV. 47). Тогда будем иметь

При новых начальных условиях (XIV.48) общее решение (XIV.32) представится в виде

Умножая обе части этого равенства слева на матрицу-строку Р, получим

Подставив в выражения (XIV.49) определенные из соотношения (XIV.50) и (XIV.51), получим

Разложим правые части равенств (XIV.52) в строку Тейлора по степеням вариации . Все члены, не содержащие вариации , очевидно, сократятся. Тогда, отбрасывая все члены разложения порядка выше второго относительно найдем уравнения в вариациях

где обозначено

Нетрудно заметить, что

где определяется формулой (XIV.40). Если определить из второго уравнения (XIV.53) и подставить в первое и учесть равенство (XIV.54), то первое уравнение (XIV.53) можно представить в виде

Далее нетрудно показать, что полученное уравнение устанавливает связь между вариациями координат системы, соответствующих двум любым последовательным переключениям.

Матрицу, заключенную в скобки, взятую со знаком минус, можно рассматривать как матрицу линейного преобразования вариаций координат системы в моменты переключения.

Найденное периодическое решение будет асимптотически устойчиво с точностью до фазы, если при бесконечном повторении указанного преобразования

Необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости состоит в том, чтобы все корни характеристического уравнения матрицы преобразования

были по модулю меньше единицы. Развернем определитель, стоящий в левой части уравнения (XIV.56). Для этой цели перепишем уравнение (XIV.56) в виде

где обозначено

Напомним, что а является скалярной величиной. Учитывая вид матрицы , определяемой формулой (XIV.33) при перепишем характеристическое уравнение в развернутом виде

Из высшей алгебры известно, что любой определитель типа

можно представить в виде

Заметим, что матрица является произведением столбца и на строку Такая матрица имеет ранг, равный единице, т. е. все миноры этой матрицы порядка выше первого равны нулю. Учитывая формулу (XIV.61), нетрудно установить, что уравнение (XIV.59) можно представить в виде

Принимая во внимание вид матриц (XIV.33) и (XIV.40), из равенств (XIV.58) получим

и

Подставим в уравнение из формул. (XIV.63) и (XIV. 64). Затем, умножив обе части уравнения на а и записав его в развернутом виде (XIV.65), после приведения получим

В левой части уравнения можно отбросить множитель так как ему соответствует корень, равный нулю, который заведомо меньше единицы. Тогда найдем уравнение степени

распределение корней которого относительно единичного круга будет определять устойчивость периодического решения.

Сведем задачу исследования устойчивости к методу Гурвица. Для этой цели введем подстановку

которая устанавливает взаимное однозначное соответствие между точками комплексной плоскости лежащими внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат и точками комплексной плоскости лежащими левее мнимой оси. С помощью подстановки уравнения (XIV.68) можно привести уравнение (XIV.67) к виду

Уравнение (XIV.69) является уравнением степени. Если все его корни будут иметь отрицательные вещественные части, то периодический режим колебаний устойчив; если хотя бы один

корень будет иметь положительную вещественную часть, то режим колебаний не устойчив.

Определить условия, при выполнении которых все корни уравнения (XIV. 69) будут лежать левее мнимой оси, можно с помощью неравенств Гурвица или посредством других методов, хорошо известных в теории регулирования.

Представим левую часть преобразованного характеристического уравнения (XIV.69) в виде полинома степени по букве

Коэффициент легко определить из уравнения (XIV. 69) в виде

Левую часть уравнения периодов (XIV. 44) обозначим через и будем рассматривать ее как функцию параметра Тогда, дифференцируя ее по 0, найдем

Учитывая, что

получим

Корни трансцендентного уравнения периодов (XIV. 44) удобно находить геометрически как точки пересечения кривой (кривая периодов) с прямой Когда кривая периодов является непрерывной, в двух последовательных точках ее пересечения с указанной выше прямой знаки производной будут различны. На основании равенства (XIV.73) в этих точках коэффициент характеристического уравнения (XIV.69), (XIV.70) будет иметь различные знаки. В зависимости от знака коэффициента условия Гурвица имеют различный вид. Эти соображения могут оказаться весьма полезными при решении конкретных задач анализа устойчивости периодических режимов колебаний.