Главная > Теория автоматического регулирования. Книга 3. Часть II
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

11. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДОВ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

При применении методов статистической аппроксимации нелинейных систем, основанных на использовании статистической линеаризации, эквивалентной передаточной функции и совместной статистической и гармонической линеаризации, следует иметь в виду во-первых, они требуют нормальности закона распределения случайного сигнала на входе нелинейного элемента и одночастотности периодического регулярного сигнала и, во-вторых, они не дают возможности определить величину и спектр воздействий, при которых происходит потеря устойчивости или возникновение периодических режимов. Это объясняется тем, что, определяя средние характеристики сигналов в системе (такие, как математическое ожидание, дисперсия или более высокие моменты), не удается найти те характеристики воздействий, при которых в системе появляются новые качественные явления.

Рассмотрим последовательно эти ограничения, разбив предварительно системы на два класса [13]:

1. Системы, в которых не возникает новых качественных явлений, связанных с потерей устойчивости (безусловно устойчивые системы) при действии возмущений.

2. Системы, в которых возникают новые качественные явления, связанные с потерей устойчивости при действии возмущений (условно устойчивые и многоконтурные системы).

Точность нелинейных систем. Требование нормальности закона распределения сигнала на входе нелинейного элемента осуществляется лишь тогда, когда линейная часть системы обладает достаточно узкой полосой пропускания, т. е. когда составляющие процесса, образовавшиеся в результате прохождения сигнала через нелинейный элемент, хорошо отфильтровываются и процесс нормализуется. Но реальные системы обычно состоят из последовательности линейных элементов, расположенных после нелинейного элемента. Суммарное действие этих элементов приближает распределение сигнала на входе нелинейного элемента к нормальному. Однако интересующая координата системы, средние характеристики которой требуется оценить, может быть выходным сигналом какого-либо промежуточного линейного элемента, полоса пропускания которого не обеспечивает требуемой фильтрации. В этом случае сигнал содержит дополнительную компоненту и его распределение будет отличным от нормального.

Рис. XVII.38. Типовая структурная схема системы с нелинейным элементом

В таком случае метод статистической линеаризации [5] не может дать удовлетворительных результатов и более предпочтительным является применение метода эквивалентной передаточной функции [13].

Пусть система автоматического регулирования имеет структурную схему, показанную на рис. XVI 1.38. На этой схеме: — нелинейный элемент, — передаточные функции линейных элементов, суммарная полоса пропускания частот которых такова, что сигнал на входе нелинейного элемента имеет нормальное распределение; — входной случайный сигнал с нормальным распределением и корреляционной функцией — выходной сигнал; — сигнал ошибки; — сигнал на выходе нелинейного элемента; — сигнал, средние характеристики которого требуется определить. При этом будем считать, что полоса пропускания элемента такова, что не обеспечивается нормализация закона распределения сигнала

Используя метод статистической линеаризации и решая совместно уравнения

параметры нелинейного элемента), получим для дисперсии сигнала следующее выражение:

где — эквивалентный коэффициент усиления нелинейного элемента по случайной составляющей [12];

спектральная плотность сигнала ошибки;

— спектральная плотность входного сигнала;

дисперсия сигнала

Здесь следует отметить один очень важный фактор, состоящий в том, что при достаточной фильтрации сигнала после нелинейного элемента и нормализации распределения этого сигнала, спектральная плотность сигнала на входе нелинейного элемента будет иметь ту же самую форму, что и в линейной системе, когда эквивалентный коэффициент является постоянным линейным коэффициентом. Следовательно, для определения спектральной плотности сигнала можно воспользоваться уравнением следующего вида:

где определяется из совместного решения уравнений (XVII.213).

Соответственно по формуле (XVI 1.213) может быть вычислена дисперсия сигнала но так как по предположению сигнал имеет закон распределения, отличный от нормального, то знание только его дисперсии является недостаточным.

Теперь рассмотрим, каким образом можно определить более высокие моменты и закон распределения сигнала оставаясь в рамках предположения о нормальности закона распределения сигнала . В работе [14] показано, что -мерная спектральная плотность сигнала на выходе нелинейного элемента определяется в этом случае по формуле

В формуле (XVII.215) есть спектральная плотность сигнала

Одномерная спектральная плотность сигнала естественно, может быть получена по формуле

двумерная спектральная плотность будет

и трехмерная спектральная плотность

Соответственно вычисление интегралов вида

и т. д. позволяет найти высшие моменты случайного сигнала

В формулах (XVII.216), (XVII.217) и (XVII.218) спектральные плотности сигнала на выходе нелинейного элемента вычисляются по формуле (XVII.215) при известной спектральной плотности определенной в соответствии с формулой (XVII.214).

Зная моменты сигнала по формуле

определим одномерную функцию плотности вероятности этого сигнала. В формуле (XVI 1.220) — момент порядка сигнала представляет производную В функции при

Аналогично, используй формулы (XVII.216) — (XVII.219) [только подставляя вместо передаточной функции произведение передаточных функций получим моменты случайного сигнала на входе нелинейного элемента, а по формуле (XVI 1.220) можно определить функцию плотности этого сигнала. Определив функцию плотности сигнала на входе нелинейного элемента, можно убедиться, насколько справедливо предположение о ее нормальности.

Если функция плотности вероятности отлична от нормальной, то, считая ее аналитической, найдем разложение в виде ряда

Для определения коэффициентов к умножим обе части выражения (XVII.221) на и проинтегрируем по всем переменным от до Учитывая свойство ортогональности полиномов Чебышева—Эрмита, получим

Пусть нелинейное преобразование задано в виде

Воспользуемся разложением выражения (XVI 1.222) для вычисления моментных характеристик процесса а именно:

Интеграл в последнем выражении распадается, и после его интегрирования получаем

где — коэффициенты разложения нелинейности в ряд по полиномам Чебышева — Эрмита, определяемые по формуле (XVII.30).

Формула (XVI 1.225) дает связь между моментными характеристиками нелинейного преобразования с одной стороны и коэффициентами разложения в ряд плотности вероятности входного процесса — с другой. Коэффициенты могут быть выражены через моменты сигнала Для этого воспользуемся соотношением вида

Подставляя формулу (XVII.226) в (XVII.224), получим

где

Таким образом, имея зависимости (XVII.225) и (XVII.227), можно по моментам входного сигнала вычислить моменты сигнала на выходе нелинейного элемента.

Основываясь на полученных результатах, можно использовать следующий общий метод исследования нелинейных систем. Сначала предполагаем закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента нормальным. Исходя из этого, вычисляем моментные характеристики нелинейного преобразования и пересчитываем их для входа нелинейного элемента. По вычисленным моментам восстанавливаем плотность вероятности входного сигнала нелинейного элемента. Если плотность вероятности отлична от нормальной, т. е. исходное предположение не обосновано, то расчет повторяется уже с учетом того, что закон распределения не является нормальным. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

Устойчивость нелинейных систем при случайных воздействиях. Устойчивость нелинейных систем зависит не только от параметров системы, но также и от величины входного сигнала или возмущающего воздействия. При малых входных сигналах система может быть устойчивой в линейном смысле; при больших входных сигналах эта система может иметь незатухающие колебания с постоянной амплитудой; при еще больших значениях входного сигнала эта же система может стать неустойчивой в линейном смысле. Таким образом, чтобы определенно установить устойчивость нелинейной системы, необходимо определить область рабочих режимов системы.

Рассмотрим метод исследования устойчивости нелинейных систем при случайных воздействиях [15], основанный на описании характеристики нелинейного элемента постоянным эквивалентным усилением и на использовании тех же критериев устойчивости, которые применяются при анализе линейных систем автоматического регулирования.

Прежде чем сформулировать задачу устойчивости нелинейных систем при случайных воздействиях, рассмотрим несколько конкретных примеров анализа устойчивости систем.

Пример 1. Рассмотрим безусловно устойчивую систему, структурная схема которой приведена на рис. XVII.38, и предположим, что нелинейный элемент имеет Характеристику типа ограничения с наклоном линейного

участка, равным 1, 0. Передаточные функции линейных элементов системы пусть будут

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутой системы приведены на рис. XVII.39. Эта система, безусловно устойчивая и имеет минимальный запас устойчивости по фазе около 10°. При действии сигнала эквивалентный коэффициент усиления нелинейного элемента может только уменьшаться и, следовательно, будет уменьшаться общий коэффициент усиления контура.

Рис. XVII.39. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики безусловно устойчивой системы

Однако безусловно устойчивая система, подобная рассматриваемой, при уменьшении общего усиления системы всегда будет иметь запас устойчивости по фазе при усилении, равном нулю децибел.

Поэтому исключается возможность появления неустойчивости, хотя при уменьшении усиления и может иметь место некоторое понижение запаса устойчивости. Кроме того, если из-за насыщения уменьшится эквивалентное усиление системы, то уменьшится и частота среза, соответствующая усилению, равному нулю децибел. Это уменьшение частоты среза приведет к замедлению переходного процесса.

Пример 2. Рассмотрим теперь условно устойчивую систему, структурная схема которой приведена на рис. XVII.38. Только пусть теперь передаточные функции элементов будут иметь следующий вид:

и наклон линейного участка характеристики нелинейного элемента пусть также равен единице.

За счет увеличения усиления в области низких частот система с последовательным корректирующим устройством стала условно устойчивой, как это видно по амплитудной и фазовой частотным характеристикам, приведенным на рис. XVII.40.

При действии на такую систему сигнала эквивалентное усиление нелинейного элемента уменьшается и при его значении, равном система теряет устойчивость. В системе возникают периодические колебания с изменяющейся частотой, сначала равной и с нарастающей амплитудой, так как указанной частоте соответствует неустойчивый предельный цикл.

Рис. XVII.40. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики условно устойчивой системы

Амплитуда колебаний нарастает до тех пор, пока частота колебаний будет равна так как эта частота колебаний соответствует устойчивому предельному циклу. При этом амплитуда периодических колебаний в системе может достигать весьма больших значений [13].

Таким образом, при действии на условно устойчивую нелинейную систему управляющего сигнала или возмущения она может потерять устойчивость, и следовательно, необходимо уметь оценивать величины воздействий, при которых это может произойти.

Пример 3. В заключение рассмотрим нелинейную многоконтурную систему, структурная схема которой приведена на рис. XVII.41.

Рис. XVII.41. Типовая структурная схема многоконтурной системы с нелинейным элементом

Передаточные функции элементов системы пусть будут равны

а наклон линейной зоны нелинейного элемента пусть будет равен 20 при параметре нелинейности (см. рис. XVII.1).

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики системы с разомкнутой обратной связью приведены на рис. XVII.42, а.

При действии сигнала эквивалентное усиление нелинейного элемента уменьшается, что приводит к существенному изменению амплитудной и, особенно, фазовой характеристик системы, так как нелинейный элемент охвачен местной обратной связью, и внутренний контур содержит интегрирующее звено.

Рис. XVII.42. (см. скан) Логарифмические частотные характеристики многоконтурной системы

В связи с этим коэффициент усиления системы с разомкнутой внешней обратной связью не изменяется, а амплитудная и фазовая характеристики внутреннего контура изменяются так, что при эквивалентном усилении нелинейного элемента меньше 3,2 система теряет запас устойчивости по фазе и становится неустойчивой в линейном смысле (см. рис. XVII.42, б).

Таким образом, при исследовании нелинейных многоконтурных систем возникает задача определения характеристик воздействия, при которых может произойти потеря устойчивости.

Заметим, что наибольший практический интерес представляет исследование устойчивости систем с нелинейной характеристикой типа ограничения, так как наличие других характеристик, например зоны нечувствительности или люфта в системе, хорошо линеаризуется действием случайного сигнала.

В дальнейшем будем рассматривать системы лишь с нелинейностью типа ограничения.

Формулировка задачи устойчивости. Для того чтобы сформулировать подстановку задачи устойчивости нелинейных систем при случайных воздействиях, рассмотрим типовую структурную схему системы с жесткой обратной связью, показанную на рис. XVII.38, предположив, что

Элементы с передаточными функциями линейны. Произведение этих двух передаточных функций дает

Нелинейный элемент представим эквивалентным усилением зависящим от среднего значения случайного сигнала на входе нелинейного элемента, среднего квадратичного значения и его максимальной амплитуды Предполагая, что случайный сигнал имеет нормальное распределение, будем считать максимальное значение амплитуды равным при этом вероятность того, что превысит не большее .

Если применять обычный линейный метод анализа устойчивости, то связь между выходным сигналом и входным сигналом можно выразить через передаточные функции и эквивалентное усиление следующим образом:

Условие возрастающих колебаний или неустойчивости, в линейном смысле, возникает, когда знаменатель уравнения (XVI 1.233) будет равен нулю:

Переписав уравнение (XVII.234) в виде

получим зависимость, которая должна быть между передаточной функцией и эквивалентным усилением при возрастающих амплитудах колебаний.

В отличие от известного способа гармонической линеаризации [9], в котором эквивалентный коэффициент усиления зависит только от амплитуды периодического сигнала при случайном воздействии, эквивалентный коэффициент зависит от

трех переменных, два из которых являются средними характеристиками случайного сигнала. Однако неустойчивость системы появляется при одном и том же значении коэффициентов, принимаемых как в методе гармонической линеаризации, так и в данном методе; при этом частота автоколебаний, если они имеют место, будет одной и той же.

Определение эквивалентного коэффициента усиления для анализа устойчивости при случайных воздействиях. Использование эквивалентных усилений по среднему значению и дисперсии, принимаемых в методе статистической линеаризации для оценки точности работы нелинейных систем, возможно тогда, когда система является безусловно устойчивой. Если система условно устойчива или является многоконтурной, то указанные коэффициенты могут быть использованы, пока система не потеряла устойчивости. Параметры сигнала, при которых происходит потеря устойчивости, не могут быть определены методом статистической линеаризации.

Известно, что при подаче на вход условно устойчивой или многоконтурной системы неслучайного сигнала определенной амплитуды и длительности в ней могут возникнуть автоколебания или неустойчивые режимы. При действии случайного сигнала на входе системы известен эффект подавления регулярной (полезной) составляющей сигнала, определяемый в методе статистической линеаризации эквивалентным коэффициентом по среднему значению. Поэтому эквивалентный коэффициент усиления, используемый при оценке устойчивости систем, как это следует и ожидать должен быть функцией средних характеристик сигнала и его амплитудных значений.

Для определения такого коэффициента усиления у нелинейных характеристик типа ограничения с параметрами С и В (см. рис. XVII. 1) воспользуемся следующим. Пусть на вход нелинейного элемента поступает случайный сигнал с параметрами . Определим коэффициент усиления по среднему значению (см. график на рис. XVI 1.7, считая, что линеаризация в среднем не может изменить величину ограничения В, а изменит лишь эквивалентно наклон линейной зоны), т. е. вычислим новое значение параметра С нелинейного элемента, равное

Теперь для нелинейной характеристики с параметрами С и В определим гармонический коэффициент усиления, зависящий от . Следовательно, будет получен некоторый коэффициент , который необходимо использовать при оценке устойчивости системы с нелинейной характеристикой типа ограничения.

Методика анализа устойчивости. Методика анализа устойчивости сводится к следующему.

1. Для системы, структурная схема которой приведена на рис. XVII.41, составим уравнение вида (XVII.234), т. е.

где — эквивалентный коэффициент усиления, определяемый в соответствии с формулой (XVII.235)

— передаточная функция линейной части системы.

Из этого уравнения при помощи критерия Гурвица определим величину коэффициента при котором система находится на границе устойчивости. Значение может быть найдено также методом логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик.

2. Составим уравнения, связывающие дисперсию и среднее значение сигнала на входе нелинейного элемента с спектральной плотностью и средним значением сигнала на входе системы. Эти уравнения будут иметь вид

где спектральная плотность сигнала — коэффициенты статистической линеаризации.

Решая систему уравнений (XVIII.237) графоаналитическим способом, как это показано в § 9 данной главы, определим значение коэффициента и значение амплитуды сигнала

3. Определим измененное значение параметра С нелинейной характеристики в соответствии с формулой (XVI 1.236).

4. При значении определяется коэффициент гармонической линеаризации при параметрах нелинейной характеристики С и В.

Если этот коэффициент равен то система находится на границе устойчивости, а если то система устойчива и для анализа точности ее работы можно использовать метод статистической линеаризации. то система неустойчива в линейном смысле или вошла в режим автоколебаний. Если система вошла в режим автоколебаний и остается работоспособной, то точность ее работы можно оценить при помощи метода

совместной гармонической и статистической линеаризации [8], учитывая гармоническую составляющую в сигнале обусловленную автоколебаниями. Проиллюстрируем предложенную методику анализа устойчивости на конкретном примере системы автоматического регулирования.

Пример 4. Обратимся снова к системе, структурная схема которой приведена на рис. XVII.41, а передаточные функции заданы формулами (XVII.231). Пусть входной сигнал имеет спектральную плотность и среднее значение, равное нулю; параметры нелинейной характеристики равны (см. рис. XVII. 1).

Будем также учитывать, что при для нелинейного типа ограничения [13]. Тогда процесс вычислений сводится к следующему.

1. В соответствии с уравнением (XVII.231), а также учитывая передаточные функции (XVII.231), определим критическое значение коэффициента усиления равное в данном случае

Рис. XVII.43. Графическое решение уравнений для

2. Найдем графическое решение системы уравнений (XVII.237), которая в данном случае будет состоять из двух уравнений, так как а именно:

и

В уравнение (XVII.238) вместо подставлен коэффициент усиления по среднему значению ввиду их равенства при

Графическое решение уравнений (XVII.238) и (XVII.239) для различных значений приведено на рис. XVII.43.

Используя графическое решение, приведенное на рис. XVII.43 для будем иметь

3. На основе формулы (XVII.236) определим

4. По графику эквивалентного коэффициента усиления гармонической линеаризации, приведенному в приложении I, табл. 2, рис. 1 для нелинейности типа ограничения, найдем значение

и

Следовательно, при система становится неустойчивой.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru