Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
11. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДОВ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМПри применении методов статистической аппроксимации нелинейных систем, основанных на использовании статистической линеаризации, эквивалентной передаточной функции и совместной статистической и гармонической линеаризации, следует иметь в виду Рассмотрим последовательно эти ограничения, разбив предварительно системы на два класса [13]: 1. Системы, в которых не возникает новых качественных явлений, связанных с потерей устойчивости (безусловно устойчивые системы) при действии возмущений. 2. Системы, в которых возникают новые качественные явления, связанные с потерей устойчивости при действии возмущений (условно устойчивые и многоконтурные системы). Точность нелинейных систем. Требование нормальности закона распределения сигнала на входе нелинейного элемента осуществляется лишь тогда, когда линейная часть системы обладает достаточно узкой полосой пропускания, т. е. когда составляющие процесса, образовавшиеся в результате прохождения сигнала через нелинейный элемент, хорошо отфильтровываются и процесс нормализуется. Но реальные системы обычно состоят из последовательности линейных элементов, расположенных после нелинейного элемента. Суммарное действие этих элементов приближает распределение сигнала на входе нелинейного элемента к нормальному. Однако интересующая координата системы, средние характеристики которой требуется оценить, может быть выходным сигналом какого-либо промежуточного линейного элемента, полоса пропускания которого не обеспечивает требуемой фильтрации. В этом случае сигнал содержит дополнительную компоненту и его распределение будет отличным от нормального.
Рис. XVII.38. Типовая структурная схема системы с нелинейным элементом В таком случае метод статистической линеаризации [5] не может дать удовлетворительных результатов и более предпочтительным является применение метода эквивалентной передаточной функции [13]. Пусть система автоматического регулирования имеет структурную схему, показанную на рис. XVI 1.38. На этой схеме: Используя метод статистической линеаризации и решая совместно уравнения
где
— дисперсия сигнала Здесь следует отметить один очень важный фактор, состоящий в том, что при достаточной фильтрации сигнала после нелинейного элемента и нормализации распределения этого сигнала, спектральная плотность сигнала на входе нелинейного элемента будет иметь ту же самую форму, что и в линейной системе, когда эквивалентный коэффициент является постоянным линейным коэффициентом. Следовательно, для определения спектральной плотности сигнала
где Соответственно по формуле (XVI 1.213) может быть вычислена дисперсия сигнала Теперь рассмотрим, каким образом можно определить более высокие моменты и закон распределения сигнала
В формуле (XVII.215) Одномерная спектральная плотность сигнала
двумерная спектральная плотность будет
и трехмерная спектральная плотность
Соответственно вычисление интегралов вида
и т. д. позволяет найти высшие моменты случайного сигнала В формулах (XVII.216), (XVII.217) и (XVII.218) спектральные плотности сигнала на выходе нелинейного элемента Зная моменты сигнала
определим одномерную функцию плотности вероятности Аналогично, используй формулы (XVII.216) — (XVII.219) [только подставляя вместо передаточной функции произведение передаточных функций Если функция плотности вероятности отлична от нормальной, то, считая ее аналитической, найдем разложение в виде ряда
Для определения коэффициентов
Пусть нелинейное преобразование задано в виде
Воспользуемся разложением выражения (XVI 1.222) для вычисления моментных характеристик процесса
Интеграл в последнем выражении распадается, и после его интегрирования получаем
где Формула (XVI 1.225) дает связь между моментными характеристиками нелинейного преобразования с одной стороны и коэффициентами разложения в ряд плотности вероятности входного процесса — с другой. Коэффициенты
Подставляя формулу (XVII.226) в (XVII.224), получим
где
Таким образом, имея зависимости (XVII.225) и (XVII.227), можно по моментам входного сигнала вычислить моменты сигнала на выходе нелинейного элемента. Основываясь на полученных результатах, можно использовать следующий общий метод исследования нелинейных систем. Сначала предполагаем закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента нормальным. Исходя из этого, вычисляем моментные характеристики нелинейного преобразования и пересчитываем их для входа нелинейного элемента. По вычисленным моментам восстанавливаем плотность вероятности входного сигнала нелинейного элемента. Если плотность вероятности отлична от нормальной, т. е. исходное предположение не обосновано, то расчет повторяется уже с учетом того, что закон распределения не является нормальным. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность. Устойчивость нелинейных систем при случайных воздействиях. Устойчивость нелинейных систем зависит не только от параметров системы, но также и от величины входного сигнала или возмущающего воздействия. При малых входных сигналах система может быть устойчивой в линейном смысле; при больших входных сигналах эта система может иметь незатухающие колебания с постоянной амплитудой; при еще больших значениях входного сигнала эта же система может стать неустойчивой в линейном смысле. Таким образом, чтобы определенно установить устойчивость нелинейной системы, необходимо определить область рабочих режимов системы. Рассмотрим метод исследования устойчивости нелинейных систем при случайных воздействиях [15], основанный на описании характеристики нелинейного элемента постоянным эквивалентным усилением и на использовании тех же критериев устойчивости, которые применяются при анализе линейных систем автоматического регулирования. Прежде чем сформулировать задачу устойчивости нелинейных систем при случайных воздействиях, рассмотрим несколько конкретных примеров анализа устойчивости систем. Пример 1. Рассмотрим безусловно устойчивую систему, структурная схема которой приведена на рис. XVII.38, и предположим, что нелинейный элемент имеет Характеристику типа ограничения с наклоном линейного участка, равным 1, 0. Передаточные функции линейных элементов системы пусть будут
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутой системы приведены на рис. XVII.39. Эта система, безусловно устойчивая и имеет минимальный запас устойчивости по фазе около 10°. При действии сигнала
Рис. XVII.39. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики безусловно устойчивой системы Однако безусловно устойчивая система, подобная рассматриваемой, при уменьшении общего усиления системы всегда будет иметь запас устойчивости по фазе при усилении, равном нулю децибел. Поэтому исключается возможность появления неустойчивости, хотя при уменьшении усиления и может иметь место некоторое понижение запаса устойчивости. Кроме того, если из-за насыщения уменьшится эквивалентное усиление системы, то уменьшится и частота среза, соответствующая усилению, равному нулю децибел. Это уменьшение частоты среза приведет к замедлению переходного процесса. Пример 2. Рассмотрим теперь условно устойчивую систему, структурная схема которой приведена на рис. XVII.38. Только пусть теперь передаточные функции элементов будут иметь следующий вид:
и наклон линейного участка характеристики нелинейного элемента пусть также равен единице. За счет увеличения усиления в области низких частот система с последовательным корректирующим устройством стала условно устойчивой, как это видно по амплитудной и фазовой частотным характеристикам, приведенным на рис. XVII.40. При действии на такую систему сигнала
Рис. XVII.40. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики условно устойчивой системы Амплитуда колебаний нарастает до тех пор, пока частота колебаний будет равна Таким образом, при действии на условно устойчивую нелинейную систему управляющего сигнала или возмущения она может потерять устойчивость, и следовательно, необходимо уметь оценивать величины воздействий, при которых это может произойти. Пример 3. В заключение рассмотрим нелинейную многоконтурную систему, структурная схема которой приведена на рис. XVII.41.
Рис. XVII.41. Типовая структурная схема многоконтурной системы с нелинейным элементом Передаточные функции элементов системы пусть будут равны
а наклон линейной зоны нелинейного элемента пусть будет равен 20 при параметре нелинейности Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики системы с разомкнутой обратной связью приведены на рис. XVII.42, а. При действии сигнала Рис. XVII.42. (см. скан) Логарифмические частотные характеристики многоконтурной системы В связи с этим коэффициент усиления системы с разомкнутой внешней обратной связью не изменяется, а амплитудная и фазовая характеристики внутреннего контура изменяются так, что при эквивалентном усилении нелинейного элемента меньше 3,2 система теряет запас устойчивости по фазе и становится неустойчивой в линейном смысле (см. рис. XVII.42, б). Таким образом, при исследовании нелинейных многоконтурных систем возникает задача определения характеристик воздействия, при которых может произойти потеря устойчивости. Заметим, что наибольший практический интерес представляет исследование устойчивости систем с нелинейной характеристикой типа ограничения, так как наличие других характеристик, например зоны нечувствительности или люфта в системе, хорошо линеаризуется действием случайного сигнала. В дальнейшем будем рассматривать системы лишь с нелинейностью типа ограничения. Формулировка задачи устойчивости. Для того чтобы сформулировать подстановку задачи устойчивости нелинейных систем при случайных воздействиях, рассмотрим типовую структурную схему системы с жесткой обратной связью, показанную на рис. XVII.38, предположив, что Элементы с передаточными функциями
Нелинейный элемент представим эквивалентным усилением Если применять обычный линейный метод анализа устойчивости, то связь между выходным сигналом
Условие возрастающих колебаний или неустойчивости, в линейном смысле, возникает, когда знаменатель уравнения (XVI 1.233) будет равен нулю:
Переписав уравнение (XVII.234) в виде
получим зависимость, которая должна быть между передаточной функцией В отличие от известного способа гармонической линеаризации [9], в котором эквивалентный коэффициент усиления зависит только от амплитуды периодического сигнала при случайном воздействии, эквивалентный коэффициент трех переменных, два из которых являются средними характеристиками случайного сигнала. Однако неустойчивость системы появляется при одном и том же значении коэффициентов, принимаемых как в методе гармонической линеаризации, так и в данном методе; при этом частота автоколебаний, если они имеют место, будет одной и той же. Определение эквивалентного коэффициента усиления для анализа устойчивости при случайных воздействиях. Использование эквивалентных усилений по среднему значению и дисперсии, принимаемых в методе статистической линеаризации для оценки точности работы нелинейных систем, возможно тогда, когда система является безусловно устойчивой. Если система условно устойчива или является многоконтурной, то указанные коэффициенты могут быть использованы, пока система не потеряла устойчивости. Параметры сигнала, при которых происходит потеря устойчивости, не могут быть определены методом статистической линеаризации. Известно, что при подаче на вход условно устойчивой или многоконтурной системы неслучайного сигнала определенной амплитуды и длительности в ней могут возникнуть автоколебания или неустойчивые режимы. При действии случайного сигнала на входе системы известен эффект подавления регулярной (полезной) составляющей сигнала, определяемый в методе статистической линеаризации эквивалентным коэффициентом по среднему значению. Поэтому эквивалентный коэффициент усиления, используемый при оценке устойчивости систем, как это следует и ожидать должен быть функцией средних характеристик сигнала и его амплитудных значений. Для определения такого коэффициента усиления у нелинейных характеристик типа ограничения с параметрами С и В (см. рис. XVII. 1) воспользуемся следующим. Пусть на вход нелинейного элемента поступает случайный сигнал с параметрами
Теперь для нелинейной характеристики с параметрами С и В определим гармонический коэффициент усиления, зависящий от Методика анализа устойчивости. Методика анализа устойчивости сводится к следующему. 1. Для системы, структурная схема которой приведена на рис. XVII.41, составим уравнение вида (XVII.234), т. е.
где
Из этого уравнения при помощи критерия Гурвица определим величину коэффициента 2. Составим уравнения, связывающие дисперсию и среднее значение сигнала на входе нелинейного элемента с спектральной плотностью и средним значением сигнала
где Решая систему уравнений (XVIII.237) графоаналитическим способом, как это показано в § 9 данной главы, определим значение коэффициента 3. Определим измененное значение параметра С нелинейной характеристики в соответствии с формулой (XVI 1.236). 4. При значении Если этот коэффициент равен совместной гармонической и статистической линеаризации [8], учитывая гармоническую составляющую в сигнале обусловленную автоколебаниями. Проиллюстрируем предложенную методику анализа устойчивости на конкретном примере системы автоматического регулирования. Пример 4. Обратимся снова к системе, структурная схема которой приведена на рис. XVII.41, а передаточные функции заданы формулами (XVII.231). Пусть входной сигнал Будем также учитывать, что при 1. В соответствии с уравнением (XVII.231), а также учитывая передаточные функции (XVII.231), определим критическое значение коэффициента усиления
Рис. XVII.43. Графическое решение уравнений для 2. Найдем графическое решение системы уравнений (XVII.237), которая в данном случае будет состоять из двух уравнений, так как
и
В уравнение (XVII.238) вместо Графическое решение уравнений (XVII.238) и (XVII.239) для различных значений Используя графическое решение, приведенное на рис. XVII.43 для
3. На основе формулы (XVII.236) определим
4. По графику эквивалентного коэффициента усиления гармонической линеаризации, приведенному в приложении I, табл. 2, рис. 1 для нелинейности типа ограничения, найдем значение
и
Следовательно, при ЛИТЕРАТУРА(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|