1. УРАВНЕНИЯ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ

Естественным аппаратом математического описания функционирования релейных систем является аппарат уравнений в конечных разностях.

Уравнения в конечных разностях должны дать возможность по известным значениям всех переменных или координат системы при некотором переключении релейного элемента определить момент и переключения и все значения координат при этом переключении. Уравнения в конечных разностях, дополненные выражениями для координат между моментами переключения, являются наиболее полным описанием релейной системы.

Исследование асимптотического поведения решений уравнений в конечных разностях приводит к исследованию периодических решений уравнений, т. е. к изучению автоколебательных режимов релейных систем и их устойчивости. В автоколебательном режиме выход релейного элемента представляет собой последовательность знакопеременных прямоугольных импульсов.

Рис. XIII. 3. Колебания на выходе релейных элементов

Для релейных элементов (см. рис. XII 1.2, а и б) импульсы чередуются без пауз (рис. XIII.3) и их длительность равна полупериоду автоколебаний Для релейных элементов, изображенных на рис. XIII.2, в и г, импульсы длительности 0 чередуются с паузами длительности где Выход линейной части х в периодическом режиме представляет собой периодическую функцию, составленную из одинаковых кусков кривой, являющейся решением уравнений линейной части системы.

Однако в общем случае для неустановившегося режима после некоторого переключения длительность импульса равна после соответственно (рис. XIII.4 и 5). В случае релейных элементов (см. рис. XIII.2,в и г), кроме того, меняется соотношение между импульсом и паузой (рис. XIII.5).

Произведем исследование процессов в релейных системах в первую очередь с целью изучения автоколебательных режимов и возможностей их возникновения. Поэтому положим входной сигнал системы Переключение релейного элемента будет происходить действием сигнала ошибки равного в данном случае

Рассмотрим сначала системы с релейными элементами, показанными на рис. ХIII.2,а и б, а затем — на рис. XIII.2,в и г.

Уравнения релейных систем с элементами (см. рис. XIII.2,а и б).

Переключение релейного элемента происходит всякий раз, когда сигнал ошибки достигает порогового значения (рис. XIII.4). Для релейного элемента (см. рис. XII 1.2,а) пороговое значение При этом возможен случай, когда релейный элемент имеет запаздывание, и переключение происходит, спустя некоторый момент после достижения сигналом порогового значения.

Линейная часть системы может быть представлена в виде параллельного соединения элементарных звеньев апериодических или колебательных. Это представление соответствует разложению передаточной функции на элементарные дроби.

Рис. XIII. 4. Колебания при релейных элементах (см. рис. XIII. 2, а и б)

Рис. XIII. 5. Колебания при релейных элементах (см. рис. XIII.

Так, например, при простых полюсах (причем один из них нулевой) будем иметь

Соответственно выход линейной части представляется как сумма элементарных компонент

График компоненты, соответствующий апериодическому звену, показан на рис. XIII.4.

Полагая начало отсчета времени от каждого момента переключения, запишем следующую систему уравнений линейной части системы внутри интервала между переключениями, т. е. для

Знак плюс в уравнениях (XIII.3) относится к положительным импульсам, а знак минус — к отрицательным импульсам выходного сигнала релейного элемента. Решения уравнений (XIII.3) при заданных начальных условиях будут

где

Введем обозначения

Учитывая, что найдем

Соответственно для положительного импульса

Для отрицательного импульса все знаки в правых частях (XI 1.6, 7) меняются на обратные. Переключение с положительного импульса на отрицательный произойдет, когда входной сигнал релейного элемента — достигнет порогового значения (см. рис. XIII.4), т. е. когда удовлетворится равенство

или

Кроме этого, выполнение равенства (XIII.8) должно происходить, когда сигнал при меняет знак с положительного значения на отрицательный, т. е. должно быть выполнено условие

или

Уравнения (XIII.5), (XIII.9) с условием (XIII. 11) образуют искомую систему разностных уравнений, позволяющую по заданным начальным условиям вычислить последовательно все значения и все значения Если переключение происходит с запаздыванием на промежуток то оба условия переключения (XIII.8) и (XIII.10) должны быть выполнены раньше момента переключения на время (рис. XIII.4), т. е.

Откуда для реле с запаздыванием вместо (XIII.9) и (XIII.11) будем иметь

Уравнения (XIII.5) и (XIII.13) с условием (XIII. 14) являются разностными уравнениями для реле с запаздыванием.

Уравнения релейных систем с элементами (рис. XIII.2, в и г). Промежуток времени между появлением положительного и отрицательного импульсов (или, наоборот) по-прежнему обозначается Промежуток этот состоит из импульса длительности где и паузы продолжительности

Припишем в значениях переменных на этапе импульса индекс а на этапе паузы индекс Далее по-прежнему значение в начале промежутка продолжительности значение в конце того же промежутка или в начале промежутка. Далее обозначим величиной значение в момент отключения реле, т. е. в конце импульса или в начале паузы.

Внутри промежутка примем два начала отсчета времени: один в начале импульса, а другой в начале паузы. С учетом сделанных замечаний будем иметь следующие выражения для координат.

Для импульса, когда

Для паузы, когда

при

Учитывая, что и отключение происходит при а включение (появление отрицательного импульса) при получим следующую систему разностных уравнений (см. рис. XIII.5)

Система разностных уравнений (XIII. 15), (XIII. 16), (XIII. 18) и (XIII. 19) дополнена условиями (XIII. 17) и (XIII.20), накладываемыми на производные сигналы на входе релейного элемента в моменты отключения и включения. Эта система уравнений записана для релейного элемента без задержек (запаздывания). Если отклонение происходит с задержкой на постоянный промежуток а включение с задержкой на то уравнение (XIII. 16)

и (XI 11.19) и соответственно условия (XII 1.17), (XI 11.20) примут следующий вид:

Решение уравнений производится в следующем порядке: задаваясь начальными условиями из уравнения (XIII.16) при выполнении условий (XIII.17) определяется произведение после чего из уравнения (XIII.15) находится Далее из уравнения (XIII.19) при условии (XIII.20) определяется произведение а затем из уравнения (XIII.18) находится Полученные значения для подставляются в уравнение (XIII.16) для определения