1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ЗАПОМИНАНИЕМ

Принцип действия и особенности систем. В экстремальных системах с запоминанием обычно поисковое (пробное) воздействие на объект является частью рабочего воздействия.

Рис. XIX.3. Схема системы с запоминанием

Система реагирует на отклонение текущего значения выходной координаты от ее значения, которое было запомнено в предыдущий момент времени.

Структурная схема такой системы приведена на рис. XIX.3. В нее входят объект управления, устройство логического действия, включающее реле знака изменения выхода (сигнум-реле), реверсирующее звено (триггер) и исполнительный орган,

обеспечивающий пробное и рабочее воздействие на объект. Обычно добавляется стабилизирующее устройство того или иного типа, которое должно обеспечивать устойчивость системы.

Если измеряемой выходной величиной является напряжение, то сигнум-реле может быть выполнено в виде конденсатора, подключенного к выходу объекта через вентиль, позволяющий заряжать конденсатор, но препятствующий его разряду. Тогда при движении системы в сторону ее удаления от экстремума сигнум-реле срабатывает и дает команду на реверсирующее устройство (триггер). Происходит реверс исполнительного механизма, и начнется изменение входа в нужную сторону.

На рис. XIX.4 и XIX.5 показан процесс поиска максимума. После того как сигнал входа х переходит свое наивыгоднейшее значение, соответствующее максимуму выходного сигнала, начинается уменьшение у.

Рис. XIX.4. Изменение параметров выхода объекта у и уст в процессе поиска экстремума функции в зависимости от времени

Когда разность достигает величины , происходит реверс входа, и начинаются его колебания, вызывающие колебания выхода с амплитудой

В настоящее время существует ряд экстремальных систем с запоминанием. В них применяются пневматические, электромеха-

Рис. XIX.5. Изменение входа объекта х в процессе иоиска экстремума в зависимости от времени

нические и электронные сигнум-реле. К положительным особенностям этих систем относятся: сравнительно небольшая амплитуда колебаний в процессе поиска, определяемая лишь зоной нечувствительности сигнум-реле и динамикой системы, меньшая по сравнению, например, с экстремальными системами с измерением производной, а также зависимость потери на поиск от формы экстремальной характеристики. К недостаткам этих систем относится необходимость применения стабилизирующих устройств. Необходимость в стабилизирующих устройствах вызывается следующими обстоятельствами. По самой идее экстремальные системы предназначены для отыскания и поддержания экстремума выхода в условиях, когда экстремальная характеристика подвержена дрейфу — возмущению, приводящему к непрерывному смещению характеристики как по вертикали, так и по горизонтали.

Допустим, что начали действовать возмущения, достаточно быстро смещающие экстремальную характеристику с максимумом, например, вверх. Тогда при удалении системы от максимума происходит не уменьшение, а увеличение выходного сигнала, следовательно, реверса исполнительного органа не происходит и вход-ная величина вместо приближения к экстремуму удаляется в крайнее положение (таким образом, теряется устойчивость системы).

Для обеспечения устойчивости системы используют различные способы ее стабилизации, в том числе:

а) периодическое реверсирование во времени изменения входа с помощью коммутатора независимо от работы сигнум-реле [6];

б) использование вычислительных устройств, отделяющих дрейф экстремальной характеристики от пробных возмущений [9];

в) использование динамического преобрааователя в сочетании с периодическим реверсированием входа по времени [34].

Для увеличения устойчивости при действии высокочастотных помех применяют интегрирование выходной величины перед ее запоминанием [3], [30].

Использование экстремальных систем с объектами, обладающими большой инерционностью, связано с появлением значительного рысканья и большой потери на поиск. Для их уменьшения необходимо уменьшать скорость входного сигнала, что приводит к замедлению поиска экстремума и увеличению влияния помех.

Избежать недостатков можно, если подавать на запоминание не сигнал выхода объекта, а его старшую производную и производить быстрое изменение сигнала на входе, обеспечивая при этом устойчивость с помощью коммутатора. Возможна подача на запоминание промежуточных производных или их комбинаций между собой и выходом, при условии, что после реверса производится отключение запоминания на некоторый промежуток времени [9].

Переходные процессы. Рассмотрим систему экстремального регулирования с запоминанием экстремума при наличии объекта

порядка, представляющего собой устойчивое апериодическое звено, при постоянной скорости перекладки исполнительного органа. Закон движения системы в каждом из этапов (в промежутке между срабатываниями сигнум-реле) описывается уравнением

где Т — постоянная времени объекта; — экстремальная характеристика.

Примем, что скорость изменения входа х равна Тогда при имеем

и

Рассмотрим переходные процессы в одном из этапов, причем примем, например, что тогда уравнение (1.1) может быть переписано в виде

или

Этот вид дифференциального уравнения позволяет сделать выводы о процессе установления выходного сигнала.

Положим вначале, что , тогда

т. е. если скорость перекладки очень мала, то регулируемая величина следит за изменением входа, без отставания. Пусть теперь Тогда величина зависит от двух сомножителей:

от величины обратной скорости возмущения;

от разности между статическим значением и текущим значением у.

Чем больше тем меньше когда то

Следовательно, так как величина производной у определяет скорость изменения выхода, то с увеличением изменение выходной величины при том же изменении входа стремится к нулю. Для доказательства этого обозначим модуль максимального значения выражения на интервале через А, т. е.

тогда модуль величины изменения выхода у будет

Если при фиксированных значениях увеличивать то

Примем теперь тогда для уравнения (XIX.5) изменения происходят в сторону уменьшения разности

Если мало, то производная велика (при данных значениях Если то достаточно малого отклонения у от чтобы это отклонение вызвало значение производной уничтожающее это отклонение.

Рассмотрим теперь процесс установления во времени для системы, описываемой уравнением (XIX. 1).

Пусть зависимость (XIX.1) имеет вид, изображенный на рис. XIX.6, и в начальный момент примем:

Предположим, что при началось изменение х по закону Будем изображать изменения у и х в зависимости от времени на графиках рис. XIX.4 и XIX.5.

Рис. XIX.6. Изображение процесса поиска экстремума на фазовой плоскости

На рис. XIX. 4 будем также изображать кривые у, которые были бы получены при безынерционном объекте. Начальному моменту соответствуют точки А, В, С на рис. XIX. увеличением начинает изменяться (увеличиваться) по отрезку прямой При этом изменение выхода в соответствии с уравнением (XIX. 1), где положено изобразится кривой причем точка пересечения кривой с зависимостью соответствует минимуму, а аналогичная точка — максимуму кривой (т. е. в точках пересечения касательные к кривой — горизонтальны).

В точке срабатывает сигнум-реле (так как в ней и происходит реверс исполнительного органа — начинается изменение (убывание ) по закону При этом происходит изменение по кривой График 2 для уст в этом этапе может быть построен, как

зеркальное отображение относительно прямой графика 7, являющегося кривой уст в первом этапе регулирования.

В точке происходит новое срабатывание сигнум-реле, поскольку здесь снова имеем и в системе имеем новый реверс и т. д. Процесс начинает приближаться к периодическому движению и его установление может быть изображено на фазовой плоскости (см. рис. XIX.6), причем построение его может быть выполнено по уравнению (XIX.4) с учетом переключения исполнительного органа после каждого срабатывания сигнум-реле.

Отметим следующее обстоятельство. Так как в точках также начинается убывание выхода у, может показаться, что на участках или будут происходить ложные срабатывания сигнум-реле. Как нетрудно видеть, в рассматриваемой системе с объектом первого порядка ложных срабатываний не будет.

Рассмотрим, например, участки или, что то -соответствующие участки определяемые уравнением (XIX.5). Знак правой части уравнения (XIX.5) не изменяется в интервалах Так как длина первого интервала больше длины второго интервала, а модуль правой части в интервале для каждой его точки меньше модуля в предыдущем интервале, то следовательно, и изменение у на участке будет меньше изменения у на участке равного

Однако для объектов более высокого порядка или при наличии люфтов и зон нечувствительностей такие ложные срабатывания могут произойти и поэтому в реальных системах необходимо учитывать эту возможность, например, давать достаточную выдержку времени на отпускание сигнум-реле после каждого его реверса.

Перейдем к рассмотрению периодических движений в системе экстремального регулирования.

Периодические движения системы. В процессе экстремального регулирования через достаточно большой промежуток времени, величина которого зависит (при прочих равных условиях) от начальных условий, устанавливается режим периодических колебаний. Известны аналитический и графический способы последовательного, от цикла к циклу, построения процесса установления. Однако весьма важно иметь общий метод, позволяющий непосредственно выделить интересующие нас периодические движения. Таким же (если не более) важным является вопрос об устойчивости процесса регулирования.

Схемы экстремального регулирования являются существенно нелинейными и для выделения периодических решений и определения устойчивости таких систем, описывающих процесс экстремального регулирования, разработаны специальные методы, которые излагаются ниже.

Пусть дано дифференциальное уравнение процесса экстремального регулирования в одном из циклов (от реверса до реверса)

и пусть его решение (для рассматриваемого цикла) при начальных условиях будет

Предположим что экстремальная характеристика четная функция (рис. XIX.7), т. е.

Найдем значения при которых 0 достигает максимума.

Рис. XIX.7. Отыскание периодических режимов при симметричной экстремальной характеристике

Дифференцируя по времени, получаем

Ищем значение обращающее в нуль, полагая

при

Можно найти это значение и иным путем, замечая, что максимум функции достигается при пересечении кривых Для этого ищем больший корень уравнения

Очевидно, что момент является функцией начальных значений

Если зона нечувствительности сигнум-реле есть то реверс произойдет при значении

Подставляя значение из уравнения (XIX.7), имеем

Для отыскания момента реверса обращаем функцию в интервале что выполнимо, так как в этом интервале функция монотонно убывает.

Пусть обратная функция есть

В момент реверса достигает значения

Будем считать и независимыми переменными. Если условия теоремы Коши выполнены, то на основании теоремы о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальных условий есть непрерывные функции начальных значений и

Для отыскания периодического решения процесса регулирования, оставляя неопределенными, накладываем на функции условия периодичности:

в момент реверса имеем

Раскрывая эти условия, имеем для отыскания периодических решений систему из двух трансцендентных уравнений относительно и

Число пар корней этой системы определяет число периодических решений. Период колебаний (удвоенное время реверса) амплитуда колебаний

Максимальное значение регулируемого параметра будет

Амплитуда и период колебаний, а также разность между максимальными значениями являются функциями величины зоны нечувствительности и с уменьшением ее также уменьшаются. В качестве иллюстрации определения периодического решения рассмотрим пример с линейным объектом порядка.

Пример 1. Уравнение системы порядка [7] (см. рис. XIX.8) при наличии ряда допущений может быть приведено к виду

Решение этого уравнения имеет вид

где

Величины определяются из начальных условий

В точке максимума 3 имеем:

Реверс происходит в точке 2, где Условия периодичности имеют вид Обозначим

тогда

Задаваясь значениями определяем и по соотношению (XIX. 10); далее, находим и по выражениям

по выражению (XIX.13). Зная по соотношениям (XIX.12) находим у. из уравнения (XIX.11) определяем после чего находим

Другой способ определения переменной не связан с решением трансцендентного уравнения (XIX. 14). Достаточно, определив из общего выражения (XIX.10), найти ряд значений для у от точки 1 до точки 2; тогда получается графически). Этим способом будем пользоваться в дальнейшем как более простым.

Рис. XIX.8. Отыскание параметров периодического режима при объекте второго порядка

Устойчивость систем экстремального регулирования с запоминанием. Выше был рассмотрен метод выделения периодических движений (установившегося процесса) систем экстремального регулирования.

Для того чтобы судить о работоспособности этих систем, необходимо установить, устойчиво ли найденное периодическое движение. При этом можно не интересоваться фазовыми соотношениями, определяющими отставание выходного сигнала объекта от его статического значения, и вообще не интересоваться формой периодического движения или предельного цикла на фазовой плоскости.

Поскольку процесс установления определяется от цикла к циклу, то можно ограничиться рассмотрением характера изменения координат интегральной кривой в начале (или в конце) каждого этапа-цикла, т. е. в моменты срабатывания сигнум-реле. Если эти координаты стремятся к значениям, соответствующим координатам предельного цикла, то периодические движения устойчивы, а если удаляются от них, то неустойчивы.

Рассмотрим общий случай системы порядка. В этом случае фазовое пространство будет -мерным. Так, в случае системы порядка движение в начале каждого цикла определялось переменными х и у, а в случае системы порядка — переменными и у.

Рассмотрим -мерное фазовое пространство переменных каждая точка которого соответствует координатам системы экстремального регулирования в момент срабатывания сигнум-реле (т. е. в момент начала очередного этапа работы или конца предыдущего этапа).

Координаты изображающей точки в начальный момент этапа будут а в начале этапа (т. е. в конце этапа)

Предположим, что переход от точки точке определяется уравнениями

Переход от 1-й точке по формулам (XIX.14) назовем преобразованием Г. Предположим, что оно взаимно однозначно.

Условие периодичности

определяет координаты предельного цикла, т. е. инвариантную (неподвижную) точку преобразования

Предположим, что она найдена, тогда можно рассмотреть точку, близкую к инвариантной:

где — отклонение в цикле координаты этой точки от координаты предельного цикла.

Предположим, что функции аналитические в окрестностях инвариантной точки, тогда их можно разложить в окрестностях этой точки в степенные ряды по и получить

где в выражения для частных производных должны быть подставлены координаты предельного цикла.

Рассматривая малые отклонения от инвариантной точки и отбрасывая члены второй и более высокой степеней малости, получаем уравнения первого приближения в виде

Эта система алгебраических уравнений линейна относительно отклонений а. Вводим обозначение для определителя системы

Пусть этот якобиан не равен нулю, тогда отклонения будут определяться выражениями

где

Раскрывая определитель (XIX.20), получим

т. е.

где — адъюнкты якобиана и

Уравнения (XIX.21) являются системой линейных уравнений в конечных разностях. Предположим, что ее решение имеет вид

где и — константы, которые необходимо определить.

Для их определения подставляем (XIX.22) в систему (XIX.21)

Если разделим обе части на то получим

Эта система будет иметь относительно неизвестных А ненулевые решения, если ее определитель равен нулю:

Полученное выражение — это характеристическое уравнение системы (XIX.21). Уравнение (XIX.24) степени и имеет корней

Общее решение системы (XIX.21), поскольку она линейна, будет

Для того чтобы предельный цикл был устойчивым, необходимо, чтобы все отклонения от него с возрастанием номера преобразования Т стремились к нулю:

В этом случае предельный цикл устойчив асимптотически.

Из выражения (XIX.25) видно, что для выполнения условия (XIX.26) необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были по модулю меньше единицы, т. е.

Если условие (XIX.27) выполняется, то каждое слагаемое в правой части выражения (XIX.25) стремится по модулю к нулю при стремлении к бесконечности.

Требования, накладываемые на коэффициенты уравнения (XIX.21) для обеспечения условия устойчивости (XIX.27), можно свести к условиям Рауса — Гурвица, если в характеристическом уравнении (XIX.24) перейти к новой переменной, связанной с линейным преобразованием

Это преобразование переводит внутреннюю область единичного круга на плоскости в левую полуплоскость плоскости а границу области — окружность в мнимую ось плоскости и.

Пусть характеристическое уравнение (XIX.24) после раскрытия определителя имеет вид

Подставляя вместо его значения из (XIX.28), получим

Уравнение (XIX.30) запишем в виде

где — постоянные, зависящие от

Условие устойчивости (XIX.27) выполняется только тогда, когда все корни уравнения (XIX.31) находятся в левой полуплоскости, т. е. когда выполняются условия Рауса — Гурвица для уравнения (XIX.31)

Рассмотрим теперь монотонную устойчивость системы. Для этого определим понятие монотонной устойчивости следующим образом. Введем расстояние в фазовом пространстве от точки,

соответствующей циклу, до неподвижной точки преобразования Т, т. е.

Будем повторять преобразование Т и посмотрим, как меняются расстояния образов точек, соответствующих последующим циклам от инвариантной точки (см. рис. XIX.9.).

Рис. XIX.9. К определению устойчивости системы

Если можно выбрать такое достаточно малое расстояние от инвариантной точки, чтобы выполнялось условие

причем

то неподвижную точку будем называть монотонно устойчивой.

В этом случае каждый последующий образ оказывается ближе к неподвижной точке, чем предыдущий.

Выведем условие монотонной устойчивости. Его можно записать в виде

Подставляем вместо его значения из соотношения (XIX.21), тогда получим

Введем обозначение

тогда неравенство (XIX.33) примет вид

или

где

Таким образом, условие монотонной устойчивости свелось к условию положительности и определенности квадратичной формы V от переменных а.

По теореме Сильвестра для этого необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры дискриминанта квадратичной формы были больше нуля:

Условие монотонной устойчивости более жесткое, чем условие асимптотической устойчивости. При выполнении условия (XIX.27) некоторые из последующих образов преобразования могут некоторое время удаляться от инвариантной точки, но при обязательно к ней сойдутся.

При выполнении же условия (XIX.32) каждый последующий образ будет ближе к инвариантной точке, чем предыдущий образ. Условие (XIX.32) дает более упорядоченный процесс установления и более простое решение с вычислительной точки зрения.