7. СИНХРОНИЗАЦИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ ВНЕШНИМИ КОЛЕБАНИЯМИ

Рассмотрим поведение релейной системы, если ее входная величина является периодической функцией. Независимо от того, была ли система устойчивой или в системе был автоколебательный режим, в ней в результате внешнего периодического воздействия может установиться периодический режим частоты, равной частоте периодического воздействия. Этот периодический режим будем называть вынужденным режимом.

При вынужденном режиме так же, как и при автоколебательном, на линейную часть системы будет по-прежнему действововать последовательность прямоугольных импульсов (или импульсов с паузами). Частота (или период) этих импульсов известна. Она равна частоте воздействия. Периодическое решение и колебания выходной величины при вынужденном режиме будут совершенно те же, что и в случае автоколебательного процесса.

Если в системе до приложения периодического воздействия были автоколебания, то возможность установления периодического режима частоты воздействия будет означать подавление автоколебаний внешними колебаниями, действующими на систему.

Поскольку вид периодического решения для автоколебательного и вынужденного режимов одинаков, то воздействие колебаниями более высокой частоты обеспечит достаточно малую амплитуду колебаний регулируемой величины. Это означает, что

неработоспособная из-за малой частоты автоколебательная система, если приложить к ней высокочастотное периодическое воздействие, способна воспроизводить медленно меняющиеся сигналы.

Установившийся вынужденный периодический режим релейной системы называется также синхронным режимом. Соответственно, переходный процесс установления синхронного режима называется процессом синхронизации.

Далее будем исследовать релейные системы с элементами (рис. XIII.2, а и б) без запаздывания в переключении реле . В качестве периодического сигнала будем рассматривать синусоидальный сигнал и сигнал симметричной треугольной (пилообразной) формы где А — амплитуда колебаний и — частота колебаний.

Уравнения процесса синхронизации. В синхронном режиме, когда автоколебания подавлены, переключения реле и изменения всех переменных систем происходят с частотой

Составим для процесса синхронизации уравнения в конечных разностях, из которых найдем уравнения установившегося синхронного режима и уравнения первого приближения, характеризующие динамику процесса синхронизации в малом. В процессе синхронизации переключение с положительного этапа на отрицательный происходит при выполнении условий:

где — фаза внешнего колебания в начале этапа. Фаза в момент переключения с положительного этапа на отрицательный будет равна

Используя выражения (XIII.5), (XIII.7), (XIII.85) и (XIII.87), получим систему нелинейных уравнений в конечных разностях:

К системе нелинейных уравнений (XIII.88), (XIII.89) и (XII 1.90) необходимо добавить условие (XI 11.86) в виде

Задавшись произвольным начальным значением при помощи уравнений (XIII.88), (XIII.89) и (XIII.90) [следя за выполнением условия (XIII.91)], можно последовательно вычислить все значения , а также Порядок уравнений (XIII.88), (XIII.89) и (XIII.90) можно понизить на единицу, если вместо произвольных начальных условий и взять специальные начальные условия, такие, которые удовлетворяют условиям переключения. При таком ограничении на выбор начальных условий система нелинейных условий будет выглядеть следующим образом:

К уравнениям присоединяется также условие (XIII.91). Задаваясь , из уравнения (XIII.92) находим и далее производим решение рекуррентных соотношений так же, как и ранее. При этом уравнение (XI 11.92) служит для определения последовательности

Установившийся синхронный режим. Предполагая, что процесс, описываемый уравнениями (XI 11.88)-(XI 11.90) или (XI 11.92) - (XI 11.94), сходится к установившемуся, т. е.

получим следующие условия переключения для установившегося режима:

где

Напомним, что производная выходного сигнала — производная синхронизирующего сигнала в момент переключения и, наконец, — производная сигнала ошибки в тот же самый момент. Поскольку полупериод колебаний задан, то из условий (XIII.95) определяется фаза синхронизации

Так как есть уравнение периодов, то знак фазы зависит от соотношения частоты синхронизирующих колебаний и возможных в системе автоколебаний при отсутствии синхронизирующих колебаний.

При высокочастотных синхронизирующих колебаниях, когда 26 меньше наименьшего из периодов автоколебаний, и знак фазы положительный. При 20, большем максимального из периодов автоколебаний, знак фазы синхронизации отрицательный. Всего уравнение (XIII.97) дает четыре решения для фазы синхронизации:

для имеем

и

для имеем

и

При возрастание амплитуды А усиливает условие (XIII.96). Напротив, при и возрастание амплитуды А может привести к нарушению условия (XIII.96).

Из выражения (XIII.97) можно найти необходимое условие синхронного режима, а именно:

и, соответственно, наименьшую критическую амплитуду

при которой возможен синхронный режим.

На рис. XIII. 17 приведена зависимость критической амплитуды от частоты внешних колебаний Кривая построена для линейной части с передаточной функцией Кривая критических амплитуд при малых частотах стремится к бесконечности. С увеличением частоты она уменьшается и становится равной нулю при частоте (т. е. частоте автоколебаний). При частотах, больших кривая вновь возрастает, стремясь к величине При автоколебания могут быть подавлены, и в системе установится синхронный режим с частотой со Если автоколебания в системе низкочастотные, то для воспроизведения входного сигнала следует выбрать , соответственно, Если они высокочастотны, то заштрихованная площадь под кривой будет характеризовать непериодический режим воспроизведения входного медленно меняющегося сигнала . В заштрихованной области система с точностью до возмущенных автоколебаний будет воспроизводить на выходе сигнал

Рис. XIII. 17. Кривая критических амплитуд

Устойчивость синхронного режима. Для исследования устойчивости синхронного режима составим уравнение первого приближения. Из уравнений получим:

где

Уравнения первого приближения можно записать в матричной форме:

где матрица

Вычеркнув правый столбец и нижнюю строку А, получим матрицу А [см. уравнение (XIII.42)] с коэффициентами

Коэффициенты нижней строки суть

Коэффициенты крайнего правого столбца

Наконец, коэффициент

Устойчивость синхронного режима определяется корнями уравнения

где

является определителем матрицы Один из корней как и один из корней (XIII.45), всегда равен нулю. Чтобы это показать, умножим строки определителя, начиная со второй до предпоследней включительно, но Последнюю строку умножим на Все столбцы, начиная со второго до предпоследнего, умножим на . Крайний правый столбец соответственно умножим на . Далее сложим все строки с нижней строкой и после этого вычтем крайний правый столбец последовательно из всех -столбцов. В итоге найдем, что

где — определитель порядка к с коэффициентами

и с коэффициентами на главной диагонали

Теперь обратимся к уравнениям и получим соответствующую им систему уравнений для малых отклонений. Эта система будет иметь вид:

После исключения получим:

или в матричной форме

где — матрица с коэффициентами

Как видно, определители матриц связаны равенством (XIII. 104).

Пример 6. Пусть

В этом случае, согласно уравнению (XIII. 107), получим

или

где

Как видно, при и синхронный режим устойчив при любой амплитуде Для случаев и разностное уравнение примет другой вид

Из этого разностного уравнения видно, что синхронные режимы с фазами и существовать не могут. При больших значениях когда не выполняется условие переключения в нужную сторону (XIII.96), которое для имеет вид . В области же выполнения этого условия (при малых ), когда синхронный режим оказывается неустойчивым, поскольку коэффициент при в уравнении в этом случае становится больше единицы.

Таким образом, в рассматриваемой системе могут быть только синхронные режимы с фазами и Какой именно установится режим, зависит от соотношения синхронизирующей частоты и частоты автоколебаний, которые возникают при