1. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Статистическое исследование нелинейных систем представляет собой весьма сложную задачу. Сравнительная простота методов статистического анализа линейных систем является естественной причиной попыток распространить эти методы на задачи приближенного исследования точности нелинейных систем. Так возникли методы линеаризации нелинейных характеристик систем.

Простейшим видом линеаризации нелинейных систем является линеаризация при помощи разложения всех нелинейных функций, входящих в уравнения системы, в ряд Тейлора и отбрасывание всех членов ряда выше первой степени. При этом каждая входящая в уравнение системы нелинейная функция заменяется приближенным линейным выражением

где — математическое ожидание случайной функции х.

Формула вида (XVII.1) позволяет лйнеаризовать уравнения нелинейной системы относительно флюктуаций сигналов в различных элементах системы. Это дает возможность применять для приближенного исследования точности нелинейных систем методы статистической теории линейных систем. Однако формулы вида (XVII. 1) применимы только к непрерывным функциям, имеющим непрерывные производные по аргументу в области его практически возможных значений.

Между тем системы автоматического регулирования часто содержат существенно нелинейные звенья, характеристики которых разрывны или имеют разрывные производные. К таким характеристикам можно отнести релейные характеристики, ограниченные зоны линейности и т. д. (см. кн. 1 гл. IV). Для линеаризации таких характеристик был развит метод статистической линеаризации [5], [19].

Статистическая линеаризация представляет собой замену нелинейного звена линейным относительно флюктуаций звеном с сохранением в определенном смысле уровня полезного сигнала и уровня флюктуаций на выходе. При этом нелинейная функция аппроксимируется постоянным эквивалентным линейным коэффициентом усиления. Естественно, что аппроксимация нелинейных функций постоянным коэффициентом недостаточно полно

отражает физическую картину преобразования случайного сигнала, так как не учитывается преобразование спектра сигнала нелинейным звеном. В связи с этим в работе [12] была предложена аппроксимация безынерционных нелинейных звеньев статистически эквивалентной передаточной функцией, определяемой из отношения спектральной плотности сигнала на выходе нелинейного звена к спектральной плотности сигнала на входе.

Одновременно с этим была развита статистическая линеаризация нелинейных функций [8] при условии, когда входной сигнал содержит периодическую составляющую. Этот метод в дальнейшем получил название совместной статистической и гармонической линеаризации.

Названные методы линеаризации позволяют свести систему нелинейных дифференциальных уравнений к системе линейных, эквивалентных исходной по первым двум моментам случайной функции. Следовательно, используя метод статистической линеаризации, можно определить лишь среднее значение и дисперсию случайной функции. При использовании совместной линеаризации можно определить так же первую гармонику периодических колебаний в нелинейной системе.

В связи с тем, что в нелинейной системе функция плотности вероятности случайного сигнала может существенным образом отличаться от нормальной и при этом для характеристики точности работы знание лишь первых двух моментов не является достаточным в работе 113], был развит метод обобщенной статистически эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева — Эрмита случайных функций и позволяющий определить высшие моменты этих функций в нелинейной системе.

Основная идея метода статистической линеаризации [5], [19] заключается в аппроксимации существенно нелинейных преобразований линеаризованной зависимостью, эквивалентной нелинейному преобразованию по первым двум моментам случайных функций, т. е. по среднему значению и дисперсии. Разумеется, что эта эквивалентная линеаризованная зависимость имеет различный вид для разных существенно нелинейных элементов, а также зависит от вероятностных характеристик случайного сигнала на входе нелинейного элемента.

Рассмотрим нелинейное преобразование, соответствующее реальной статической характеристике безынерционного нелинейного элемента

Преобразуемый случайный процесс может быть представлен в виде

где математическое ожидание, а процесс с нулевым математическим ожиданием.

Представим сигнал на выходе нелинейного элемента в виде эквивалентного линейного преобразования входного сигнала

где К — эквивалентные статистические передаточные коэффициенты по математическому ожиданию и дисперсии, которые необходимо определить. Первое предположение, являющееся исходным при определении этих коэффициентов, — это соблюдение равенств математического ожидания и дисперсии для случайного сигнала на выходе реального нелинейного и эквивалентного линейного элементов. Тогда коэффициент может быть определен как отношение математического ожидания на выходе нелинейного элемента к математическому ожиданию сигнала на входе

Для коэффициента в этом случае будем иметь выражение

где — средние квадратические отклонения центрированных случайных сигналов соответственно на входе и на выходе нелинейного элемента.

Второе предположение, принимаемое при статистической линеаризации, основано на требовании минимума среднего квадрата разности между случайным сигналом на выходе нелинейного элемента и случайным сигналом на выходе эквивалентного линейного элемента. Это условие можно записать следующим образом:

Раскроем это выражение:

В формуле (XVI 1.8) черта сверху означает математическое ожидание. Взяв частные производные от выражения (XVI 1.8) по получим

где — взаимная корреляционная функция сигналов на входе и на выходе эквивалентного линейного элемента при

Использование при расчетах коэффициента (XVI 1.6) дает несколько завышенное значение дисперсии, а использование коэффициента (XVI 1.9) несколько заниженное. Поэтому при расчетах в качестве эквивалентного коэффициента по случайной составляющей можно взять следующее значение:

Заметим, что при статистической линеаризации в отличие от обычной линеаризации нелинейных функций, основанной на их разложении в ряд Тейлора в окрестности некоторой рабочей точки, средние характеристики сигналов могут быть рассчитаны точно.

Теперь рассмотрим общие формулы для определения эквивалентных коэффициентов усиления. Пусть задана одномерная нормальная плотность вероятности). Тогда формулы для коэффициентов будут иметь вид

Произведем расчет коэффициентов по формулам (XVII. 11), (XVII.12) и (XVII.13) для нелинейной характеристики типа кубической параболы, которая аналитически может быть представлена формулой

При вычислении коэффициентов будем считать, что математическое ожидание случайного сигнала не равно нулю. В этом случае формулу (XVII. 14) удобно записать так:

считая при этом, что наличие математического ожидания смещает лишь рабочую точку на нелинейной характеристике. Прежде чем

вычислять значения коэффициентов, нормируем случайный сигнал относительно его среднего квадратического значения а, т. е. возьмем

Тогда формулу (XVII. 15) можно записать следующим образом:

Теперь, подставляя формулу (XVII. 16) в выражения (XVII. 11), (XVII. 12) и (XVII.13) вместо определим значения коэффициентов

Если сигнал на выходе нелинейного преобразования зависит как от самого входного сигнала, так и от его производных, т. е.

что имеет место, когда нелинейная характеристика неоднозначна или является инерционной, то статистическую линеаризацию этой характеристики можно произвести, определив эквивалентные усиления по сигналу и его производным. Для частного случая, когда

эти коэффициенты можно определить по критерию минимума средней квадратической ошибки

где коэффициенты и имеют тот же смысл, что и коэффициенты (XVI 1.5) и (XVI 1.9), а коэффициент является эквивалентным коэффициентом усиления для первой производной сигнала