3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Спектральный метод анализа нелинейных систем рассматриваемого класса (рис. XVIII.1), основан на ортогональном разложении функций и введении понятия обобщенного спектра. Этот метод удобен для реализации на электронных цифровых вычислительных машинах.
Постановка задачи заключается в следующем: зная многомерные передаточные функции 
и зная вид входного сигнала 
необходимо найти выходной сигнал 
Решение задачи будем производить при помощи формулы (XVIII.4), которая показывает, что задача анализа нелинейных систем сводится к задаче восстановления функции 
по ее изображению:
с последующим отождествлением переменных
Предположим, что искомая функция 
принадлежит 
т. е.
где функция 
удовлетворяет условию
В соответствии с постановкой задачи известно многомерное интегральное преобразование вида
Требуется найти [или, как иногда говорят, восстановить] функцию 
по ее изображению 
Будем искать решение в виде многомерного ортогонального ряда:
где 
- система линейно независимых функций, а коэффициенты ортогонального разложения определяются формулой
Последняя формула может быть получена из условия, согласно которому многочлен 
должен доставлять абсолютный минимум функционалу
Таким образом здесь рассматривается метод, позволяющий находить выходную реакцию нелинейной системы в виде соответствующего ортогонального ряда.
Назовем многомерным обобщенным (ортогональным) спектром процесса совокупность коэффициентов ортогонального разложения анализируемой многомерной функции в ряд по выбранной ортогональной системе. Если в качестве процесса принята многомерная импульсная переходная функция, то ее обобщенный спектр назовем обобщенной (ортогональной) спектральной характеристикой системы.
Согласно формуле (XVI 11.17), задача анализа сводится к определению обобщенного спектра процесса.
Алгоритм вычисления последнего зависит от выбранной системы ортогональных функций 
или, другими словами, от выбранного ортогонального базиса.
Выбор конкретной ортогональной системы определяется: характером распределения ошибки аппроксимации на интервале ортогональности;
дифференциальными свойствами анализируемой функции; наличием априорной информации об объекте управления. Рассмотрим этот алгоритм несколько подробнее для двух систем ортогональных функций, а именно: экспоненциальных и функций Легерра.
