2. ПЕРИОДИЧЕСКИЙ РЕЖИМ В СИСТЕМЕ С ПЕТЛЕОБРАЗНОЙ РЕЛЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
Возмущенное движение рассматриваемой системы будем определять уравнениями, представленными в каноническом виде
причем характеристика релейной управляющей функции 
представляется графиком (см. рис. XIII.2, б). Уравнения (XIV.25) являются нелинейными. Однако проинтегрировать эти уравнения не представляет принципиальных трудностей, так как 
является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения, равные 1 или —1. При этих значениях 
уравнения (XIV.25) превращаются в линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с постоянными „правыми частями"
и
Определим общие решения уравнений (XIV.26) и (XIV.27). При этом построение решения уравнений (XIV.25) будет состоять
в том, чтобы в моменты времени, когда управляющая функция 
меняет свое значение с 1 на —1, или наоборот, пользоваться соответствующим решением уравнений (XIV.26) или 
взяв за начальное значение переменных 
их конечные значения в предыдущем интервале времени.
Применяя метод припасовывания, можно построить непрерывное решение уравнений (XIV.25) при заданных начальных условиях. Моменты переключения реле и связанные с ними изменения значений 
на I или, наоборот, определяются соответственно условиями (см. рис. XIII.2, б)
или
Нелинейные уравнения (XIV.25) при некоторых условиях допускают существование конечного числа периодических решений; причем эти решения существуют в целой области изменения параметров системы.
Если режим колебаний, соответствующий периодическому решению асимптотически устойчив, то физически он наблюдается в виде автоколебаний системы. Во многих случаях знание качественных и количественных характеристик стационарных режимов, соответствующих периодическим решениям, является важным в общей оценке поведения такого рода систем регулирования.
Перейдем к определению периодических решений. Заметим, что если 
является решением уравнения (XIV.26) на некотором интервале времени, то 
является решением уравнения (XIV.27) на том же промежутке времени. Отсюда следует, что уравнение (XIV.25) может допускать периодическое решение симметричное на полупериоде 
, т. е.
Для общности определение симметричных периодических решений будем вести для случая, когда среди корней характеристического уравнения линейной части имеется двойной нулевой корень. Из полученных решений легко будет установить соответствующий результат для случая простых корней. Кроме того, читатель, имея перед глазами более общий пример, легко воспроизведет необходимую последовательность рассуждения и выкладок для более простого случая.
Пусть в некоторое мгновение времени, которое принимается за начало его отсчета, столбец переменных 
а
предыстория движения такова, что при 
удовлетворяются условия переключения реле (XIV.28), т. е.
Тогда в промежутке времени до следующего переключения реле движение системы определяется матричным уравнением (XIV.26). При начальном условии 
решение неоднородного матричного уравнения (XIV.26) можно записать в виде
где 
и 
- квазидиагональные матрицы;
Из равенства (XIV.30) при 
имеем
Тогда при 
из уравнения (XIV.32) устанавливаем
где
Учитывая соотношения (XIV.33), (XIV.34), получим
Введем квазидиагональную матрицу
Учитывая формулы (XIV. 16) и (XIV.38), устанавливаем
Подставляя 
из соотношения (Х.36)в(Х.31),(Х.32) и учитывая выражения для матрицы 
(XIV.39), (XIV.40), получим
Уравнение (XIV.42) носит название уравнения периодов. Любой положительный корень 0 уравнения (XIV.42), при котором удовлетворяется условие переключения реле (XIV.43), является полупер иодом симметричного периодического решения уравнения (XIV. 25).
Периодическое решение на интервале 
<0г определяется уравнением (XIV.41) при 0, вне этого интервала оно продолжается из условия (XIV.30). Соотношения (XIV.42) и (XIV.43) представлены в матричной форме. Учитывая вид матриц (XIV.38, 40),
запишем их в эквивалентной скалярной записи. Так для уравнения периодов будем иметь
Условие переключения реле перепишется в виде
