8. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ САМОНАСТРАИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМ

Рассморим спектральный принцип построения аналитических самонастраивающихся систем в классе систем с переменными параметрами на примере одномерной системы, самонастраивающейся как по характеристикам внешних воздействий, так и по динамическим свойствам объекта управления (рис. XX.23).

Рис. XX.23. Спектральный принцип построения аналитической самонастраивающейся системы в классе систем с переменными параметрами

Этот пример иллюстрирует также объединение составных частей алгоритма в единый алгоритм.

Основной контур управления рассматриваемой системы линейный. Он состоит из объекта регулирования, элемента обратной связи, исполнительного элемента, корректирующего фильтра (который, как и весь алгоритм, реализуется на цифровой вычислительной машине). Предполагается, что непосредственному измерению доступны ошибка и выходной сигнал системы При этом принимается, что измерители сигналов безынерционные, объект регулирования имеет переменные заранее неизвестные параметры, а динамические характеристики элемента обратной связи известны. Входной сигнал системы состоит из полезной составляющей с известной нестационарной спектральной плотностью и помехи с неизвестной нестационарной спектральной плотностью Помеха и сигнал статистически независимы.

Критерием оптимальности системы является условие

Структура алгоритма построена по схеме, изображенной на рис. XX.6. Спектральный принцип реализации этого алгоритма в классе систем с переменными параметрами иллюстрируется рис. XX.23. Обозначения составных частей алгоритмов на схемах рис. XX.23 и рис. XX.6 идентичны.

Вычислительная машина оперирует матрицами нестационарных спектральных характеристик, спектральных плотностей и передаточных функций. В блоке 1 программы определяется нестационарная спектральная плотность входного сигнала которая используется в блоке 2 для вычисления сечения оптимальной нестационарной сопряженной передаточной функции системы Последняя используется в блоке 3 для формирования оптимальной модели прямой цепи. В блоке 4 определяется двумерная нестационарная передаточная функция объекта и исполнительного элемента Эта передаточная функция, а также выходные сигналы системы и модели используются цепями самонастройки по замкнутому циклу 5 для формирования сечения нестационарной сопряженной передаточной функции корректирующего фильтра Подстройка прямой цепи к оптимальной модели производится по критерию:

где

Из-за дискретного принципа действия цифровой вычислительной машины можно считать, что критерии первичной (XX.57) и

вторичной (XX.58) оптимизации выполняются лишь в дискретные моменты времени где Для определенности примем, что а период считывания сигналов

Рассмотрим детальнее алгоритм системы и его формирование. Оптимальная модель прямой цепи и корректирующий фильтр реализованы по сечениям своих нестационарных сопряженных передаточных функций в соответствии со схемой рис. IV. 16, причем у модели и корректирующего фильтра анализатор спектра их входного сигнала является общим. Преобразователь спектра и синтезатор выходного сигнала корректирующего фильтра является матричным множительным устройством, на один вход которого подается спектральная характеристика а на Другой настраиваемая нестационарная сопряженная передаточная функция На каждом промежутке эта передаточная функция аппроксимируется некоторым конечным рядом и поэтому ее формирование сводится к определению коэффициентов этого ряда.

В дайном случае принято, что передаточная функция является кусочно-постоянной:

при (XX.59)

Процесс вычисления является шаговым, т. е. она вычисляется для каждого промежутка с учетом уже известных значений для предыдущих промежутков времени.

Итак, корректирующий фильтр функционирует по формулам

которые из-за дискретного принципа действия ЦВМ принимают вид

Принято, что нестационарная сопряженная передаточная функция оптимальной модели замкнутой системы и прямой цепи также являются кусочно-постоянными функциями

Передаточная функция формируется в блоке 3 в неявном виде, а именно путем охвата модели замкнутой системы

положительной обратной связью через модель элемента обратной связи системы, которая описывается здесь нестационарной нормальной передаточной функцией Следовательно, модель прямой цепи функционирует по формулам (XX.60) и выражениям:

Алгоритм оптимальной модели системы находится в результате решения задачи первичной оптимизации. В данном случае можно воспользоваться результатами, полученными в гл. IV, где показано, что система оптимальная по критерию (XX.57) описывается нестационарной сопряженной передаточной функцией

Выражение (XX.66) представляет собой алгоритм оптимальной модели замкнутой системы. Поскольку нестационарная спектральная плотность помехи неизвестна, то система должна быть самонастраивающейся по входному сигналу.

Алгоритм вычисления по входному сигналу находится, если учесть, что есть нестационарная спектральная плотность входного сигнала Поэтому алгоритм оптимальной модели с учетом того, что нестационарная спектральная плотность как функция времени аппроксимируется кусочно-постоянной функцией запишется в виде

Нестационарная спектральная плотность входного сигнала определяется в блоке 1 методом, рассмотренным в гл. IV по вычисляемому в ЦВМ сигналу Блок 2 функционирует по формуле (XX.67).

Алгоритм определения двумерной нестационарной передаточной функции в блоке 4 строится по одному из методов, рассмотренных в § 7.

Синтезируем теперь алгоритм цепей самонастройки по замкнутому циклу 5. Для этого выразим показатель вторичной оптимизации через настраиваемые ординаты нестационарной сопряженной передаточной функции . С учетом выражения (IV. 110) формулу (XX.58) представим в виде

Очевидно, что

Двумерную нестационарную передаточную функцию корректирующего фильтра найдем по формуле (IV.36), учитывая, что его импульсная переходная функция определяется формулой

Будем иметь

откуда, учитывая формулу (XX.59), получим

где

Подставляя формулу (XX.72) в (XX.69), получим

Формулы (XX.68) и (XX.74) связывают показатель вторичной оптимизации с настраиваемыми ординатами сопряженной передаточной функции Найдем из уравнения (XX.68) частную производную

Из выражения (XX.74) получим

Подставляя формулу (XX.76) в (XX.75), запишем выражение для частной производной в матричной форме:

Используя градиентный метод, а именно, уравнения (XX.23), найдем, что уравнения цепей самонастройки имеют вид

По уравнению (XX.78) и составлена схема блока 5. Экстраполированные значения получаются с помощью экстраполяторов

В заключение заметим, что вычисляемые значения устанавливаются в момент Следовательно, вычисление этих значений начинается до момента Отметим также, что ЦВМ оперирует матрицами конечного порядка, что приводит к приближенной реализации соответствующих частей алгоритма.

Если оптимальная модель прямой цепи системы может быть рассчитана заранее, что возможно, когда статистические характеристики входного сигнала полностью известны, то алгоритм самонастройки значительно упрощается. Действительно, в этом случае блоки 1 и 2 программы как таковые исключаются из схемы самонастраивающейся системы (см. рис. XX.23), а блок 3 функционирует по формуле:

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)