5. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕОДНОЗНАЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Рассмотрим неоднозначные нелинейные характеристики, которые описывают работу элементов с петлей гистерезиса, люфтом и т. п. Процесс на выходе элементов такого типа может быть записан следующим образом:

Используя разложение процесса по полиномам Чебышева — Эрмита, формула (XVI 1.64) примет вид

где

Будем использовать разложение (XVII.65) для вычисления характеристик процесса на выходе нелинейного преобразования. Для среднего значения выходного сигнала имеем

Считая, что произвольная n-мерная плотность вероятности сигнала является аналитической функцией, представим ее в виде ряда

Коэффициенты разложения вычисляются по формуле

Формула (XVII.68) является обобщением известного асимптотического разложения плотности вероятности на n-мерный случай. Однако в приложениях редко приходится иметь дело с многомерными плотностями вероятности, чаще распределение задается его моментами. В этом случае удобно иметь выражение коэффициентов (XVI 1.69) через моментные характеристики процесса. Для этой цели будем использовать следующее представление полиномов Чебышева—Эрмита

Подставляя выражение (XVII.70) в формулу (XVII.69) и производя интегрирование, найдем

В формуле (XVII.71) обозначено

Таким образом, выражения (XVII.68) и (XVII.71) позволяют по известным моментным характеристикам процесса приближенно определить выражение его многомерной плотности вероятности.

Теперь рассмотрим, каким образом можно вычислить статистические характеристики процесса на выходе неоднозначного нелинейного элемента. Подставив выражение (XVI 1.68) и (XVI 1.71) в формулу (XVI 1.67) для среднего значения, получим

Двойной интеграл в формуле (XVI 1.72) распадается на одинарные. Производя интегрирование, получим

Последнее выражение, в силу ортогональности полиномов Чебышева — Эрмита, отлично от нуля лишь при соблюдении условий и Поэтому окончательно для среднего значения получим

Для корреляционной функции процесса на выходе нелинейного преобразования запишем следующее выражение:

В формуле (XVII.75)

Как и ранее при определении среднего значения, подставляя формулы (XVII.68) и (XVII.71) в формулу (XVII.75), для корреляционной функции получим

Принимая во внимание формулу (XVI 1.74), окончательно находим

Таким образом, первые два момента и моменты более высокого порядка сигнала на выходе нелинейного элемента с неоднозначной характеристикой могут быть вычислены, если известна плотность вероятности входного сигнала.

Рассмотрим теперь случай, когда входной сигнал является стационарным и имеет нормальный закон распределения. Для определения эквивалентных, линейных коэффициентов усиления достаточно знать первые два момента распределения. Среднее значение в соответствии с формулой (XVI 1.74) в данном случае будет

Так как известное разложение Крамера для двумерной плотности вероятности имеет вид

где — процесс на входе нелинейного элемента и его производная соответственно,

Поскольку стационарные процессы в совпадающие моменты времени не коррелированы со своей производной, то имеет место соотношение

Следовательно, среднее значение будет равно

Для корреляционной функции в соответствии с (XVI 1.77) получим следующее выражение:

При выводе формулы (XVI 1.81) использовалось разложение четырехмерной нормальной плотности вероятности, которое имеет следующий вид:

Таким образом, для корреляционной функции сигнала на выходе нелинейного элемента получено выражение в виде ряда по степеням нормированных корреляционных и взаимно корреляционных функций входного сигнала и его производной.

Учитывая, что в (XVI 1.81) для стационарных процессов в момент окончательно для дисперсии получим

При практических расчетах нет необходимости использовать бесконечные суммы (XVII.78) и (XVII.83). Количество слагаемых в них определяется тем, насколько быстро сходится ряд (XVI 1.83) для конкретной нелинейности и каковы требования к точности расчетов.

В связи с этим остановимся на некоторых важных свойствах разложения (XVI 1.65). Аппроксимируем нелинейное преобразование некоторым линейным преобразованием, оптимальным в смысле минимума среднего квадратичного, а именно:

где имеет вид

Очевидно, аппроксимация (XVII.85) является статистической линеаризацией неоднозначной нелинейности.

Определим коэффициенты обеспечивающие минимум среднего квадрата (XVII.84). Для этой цели подставим вформулу (XVI 1.84) выражение (XVI 1.85), почленно осредним и продифференцируем полученное по каждому из коэффициентов. Приравнивая нулю частные производные функций по параметрам получим соотношения

В соответствии с формулой (XVI 1.83) нетрудно выявить следующие зависимости:

— среднее значение сигнала на выходе нелинейного преобразования.

Таким образом, чтобы аппроксимировать нелинейность оптимальным в среднеквадратическом смысле линейным преобразованием, достаточно в разложении (XVI 1.83) ограничиться членами, сумма порядков полиномов Эрмита которых не превышала бы единицы, т. е.

Аналогично можно показать, что при аппроксимации нелинейностей в классе квадратичных преобразований, в разложении (XVI 1.65) достаточно ограничиться лишь членами, сумма порядков полиномов Эрмита которых не превышает двух, в классе кубичных — трех и т. д.

Разложение нелинейности в ряд по полиномам Эрмита является в некотором смысле оптимальным разложением. Следует отметить, что в общем случае, когда нелинейное преобразование является функцией многих переменных, оно может быть представлено многомерным рядом по полиномам Эрмита:

где