2. СТАТИСТИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ЭЛЕМЕНТА

Приближенный метод статистической линеаризации нелинейных функций основан на эквивалентном представлении этих функций постоянным коэффициентом или и поэтому, естественно, при такой аппроксимации не отражается достаточно полно истинная физическая картина прохождения случайного сигнала через нелинейный элемент, так как при постоянном усилении изменяется только амплитуда сигнала и не изменяется его спектр. В действительности случайный сигнал, имеющий определенную спектральную плотность на входе нелинейного элемента, изменяет ее на выходе.

Целесообразно поэтому рассмотреть способ аппроксимации, учитывающий изменение спектральной плотности сигнала. Этот способ может быть основан на использовании понятия эквивалентной передаточной функции.

Действительно, пусть на вход нелинейного элемента (XVII. 2) поступает случайный сигнал имеющий постоянное среднее значение дисперсию спектральную плотность или соответствующую ей корреляционную функцию. Тогда на выходе этого элемента будет случайный сигнал со средним значением , дисперсией спектральной плотностью и корреляционной функцией соответственно.

Определим статистически эквивалентную передаточную функцию в виде

где — эквивалентная передаточная функция, а модуль есть эквивалентный передаточный коэффициент нелинейного элемента [12], зависящий от частоты.

Таким образом из выражения (XVII.21) видно, что для определения необходимо знать спектральную плотность случайного сигнала на выходе нелинейного элемента Для этой цели определим корреляционную функцию случайного сигнала на выходе нелинейного элемента

где

— двумерная нормальная функция плотности вероятности, а нормированная корреляционная функция сигнала

Для вычисления интеграла (XVI 1.22) нелинейную функцию следует аппроксимировать прямолинейными отрезками или полиномами вида а для применить разложение Крамера по членам ортогональных полиномов Чебышева — Эрмита [6].

Разложение Крамера имеет вид

где ортогональные полиномы Чебышева — Эрмита.

Для двумерной нормальной плотности распределения получим

или

Нормируем случайную величину х относительно среднеквадратического значения а, т. е.

Для стационарного случайного эргодического процесса Тогда интеграл (XVI 1.22) можно записать в виде

Объединив выражения (XVII.26) и (XVII.27), получим для корреляционной функции следующее выражение:

Так как подынтегральное выражение в формуле (XVII.28) есть по сути дела произведение двух независимых случайных величин, то корреляционную функцию можно представить в виде

где

Ортогональные полиномы Чебышева — Эрмита определяются из соотношения

и равны для различных значений соответственно

Таким образом, корреляционную функцию на выходе нелинейного элемента можно определить, вычислив ряд (XVII.29). Последний обладает абсолютной сходимостью, так как функция ограниченная, а коэффициенты убывают со скоростью

Если характеристика нелинейного устройства является нечетносимметричной функцией, то ряд (XVII.29) сохраняет только нечетные члены разложения, а именно:

Если эта характеристика нечетноасимметричная или четная, то сохраняются все члены ряда, при этом коэффициент равен квадрату среднего значения случайного сигнала на выходе нелинейного элемента, корреляционная функция же для центрированного случайного процесса в этом случае будет определена выражением

Зная корреляционную функцию, с помощью преобразования Фурье можно получить искомую спектральную плотность случайного сигнала на выходе нелинейного элемента.

Для определения достаточно знать значения коэффициентов и спектральные плотности от степеней корреляционной функции сигнала. Тогда по определению (XVII.21) будет иметь вид

где

Например, для корреляционной функции и спектральной плотности вида

Коэффициенты равны

Эквивалентная частотная характеристика в этом случае равна

а

где — статический коэффициент усиления нелинейного элемента при — постоянные времени, являющиеся функцией

Коэффициенты пропорциональны дисперсии и могут быть рассчитаны для типовых существенных нелинейностей.

Эквивалентная частотная характеристика позволяет лишь оценить прохождение через нелинейный элемент случайной составляющей сигнала Поэтому введем понятие эквивалентного коэффициента усиления по среднему значению т. е. коэффициента, характеризующего прохождение регулярной негармонической части сигнала. Этот коэффициент определим как отношение среднего значения ту сигнала на выходе нелинейного элемента к среднему значению сигнала на его входе

где — наклон нелинейной функции в рабочей точке.

В тех случаях, когда линейная часть системы имеет достаточно узкую полосу пропускания в качестве эквивалентного усиления нелинейного элемента по случайной составляющей, следует использовать эквивалентный статический коэффициент усиления

Верхней оценкой для коэффициента является эквивалентный коэффициент определяемый как отношение

среднеквадратического значения сигнала на выходе нелинейного элемента к среднеквадратическому значению на входе [5]

Нижней же оценкой для является значение эквивалентного усиления определяемого в [5] и [19] из условия минимума среднего квадрата разности между сигналами на выходе нелинейного элемента и эквивалентного линейного, т. е.

где — взаимная корреляционная функция сигналов на выходе и входе эквивалентного линейного элемента.

Таким образом, значения эквивалентного статического коэффициента лежат между значениями коэффициентов вычисленных для той же нелинейности, а именно:

Для расчета точности нелинейных замкнутых систем необходимо использовать взаимную корреляционную функцию сигналов на входе и выходе нелинейного элемента.

Используя формулу (XVI 1.28) для определения корреляционной функции, получим

или

где

При определении коэффициентов необходимо учитывать следующие соотношения:

Таким образом, взаимную корреляционную функцию можно записать

Коэффициенты в этом случае вычисляются аналогично, как и в случае определения корреляционной функции (XVII.34).