2. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Предположим, что в релейной системе имеют место вынужденные колебания полупериода 0, т. е. частоты 
вызванные гармоническим воздействием, приложенным ко входу релейного элемента:
где 
— амплитуда; 
— сдвиг фазы; 
— частота.
При
Тогда все величины, характеризующие состояние релейной системы, 
будут изменяться также периодически с полупериодом 
, т. е. с частотой (рис. XV.2).
Обозначим периодически изменяющиеся величины через 
Выходная величина релейного элемента 
представляет последовательность импульсов постоянной длительностью 0 и постоянной высоты 
с чередующимися знаками. Эта последовательность импульсов, не зависящая от формы входной величины, воздействует на линейную часть системы и вызывает периодическое изменение выходной величины линейной части системы 
Сумма 
определяет 
Как видно из рис. XV.2, искомые вынужденные колебания или, точнее периодическое решение, могут существовать, если будут выполнены следующие условия:
1) момента переключения
2) направления переключения
3) отсутствия переключений внутри полупериода 9
где 
— полупериод внешнего воздействия.
Воспользовавшись соотношениями (XV.4) и (XV 5) получим
поэтому условия (XV.6)-(XV.8) можно после очередных преобразований записать в виде
Условия (XV. 10). (XV. 11) определяют амплитуды внешнего воздействия, при которых возможны вынужденные колебания полупериода 0 и сдвиг фаз 
этих колебаний.
Если внешние колебания отсутствуют 
то
и условия (XV. 10)-(XV. 12) переходят в условия существования автоколебаний
и
В этом случае полупериод 0 искомых автоколебаний определяется 
вещественный корень уравнения (XV.13), удовлетворяющий уравнению (XV. 14). Условия (XV. 12) и (XV.15) автоматически проверяются при построении формы вынужденных колебаний или автоколебаний.
Заметим, что в том случае, когда внешнее периодическое воздействие приложено ко входу релейного элемента (см. рис. XV. 1), форма автоколебаний и вынужденных колебаний, если они имеют один и тот же полупериод, тождественны друг другу. Это следует из того, что в обоих случаях на линейную часть системы воздействует последовательность одних и тех же прямоугольных импульсов постоянной высоты и длительности, знаки которых чередуются.
