10. СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Задачу синтеза оптимальной нелинейной системы автоматического регулирования определим как задачу определения структуры и параметров нелинейного корректирующего устройства, обеспечивающего экстремум выбранного критерия качества. Использование обобщенных спектров позволяет применить для решения этой задачи прямые методы вариационного исчисления. При этом необходимо выполнить следующие операции:

1) записать выражение для критерия оптимизации через многомерные обобщенные спектры импульсных переходных функций нелинейной системы;

2) используя обычные методы оптимизации, получить систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительна элементов обобщенного спектра многомерных импульсных переходных функций;

3) решить систему алгебраических уравнений относительно неизвестных элементов обобщенного спектра импульсных переходных функций;

4) произвести расчет обобщенных спектров импульсных переходных функций разомкнутой нелинейной системы;

5) найти обобщенный спектр корректирующего устройства;

6) реализовать нелинейное корректирующее устройство (нелинейный ортогональный корректирующий фильтр).

Рассмотрим ортогональный метод решения задачи определения оптимальных значений элементов обобщенного спектра замкнутой системы по критерию минимума среднеквадратической ошибки. Предположим, что на вход системы автоматического регулирования поступает сигнал вида [5]

где — полезная составляющая сигнала;

— помеха;

— стационарные случайные функции с известными статистическими характеристиками.

Запишем выражение для критерия оптимизации:

В общем случае такая задача сводится к решению системы интегральных уравнений и является весьма сложной. Как

и ранее, представим ядра функциональных рядов типа Вольтерра в виде разложения по многомерным ортогональным функциям, причем коэффициенты ортогонального разложения определим из условия выполнения выбранного критерия.

Представим искомую многомерную импульсную переходную функцию в виде

С учетом последней зависимости формула для критерия оптимизации может быть записана:

Раскрывая выражение (XVIII.84), получим

Вводя обозначения

зависимость для можно записать в виде

Используя обычный прием минимизации, т. е. беря частные производные по элементам обобщенного спектра импульсных переходных функций, получим систему линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов

Последнее уравнение можно записать в матричной форме:

где — вектор-столбец, элементами которого являются числовые коэффициенты

— симметричная матрица, элементами которой являются числа ;

С — вектор-столбец, компонентами которого являются элементы оптимальной обобщенной спектральной характеристики.

Рис. XVIII.5. Вычислитель динамических характеристик нелинейного объекта автоматического регулирования

Система алгебраических уравнений может быть решена одним из точных или приближенных методов. Затем при помощи известных приемов [I] осуществляется переход от замкнутой системы к разомкнутой, после чего находятся элементы многомерного обобщенного спектра корректирующего устройства. Как и в случае детерминированных воздействий, коррекция осуществляется с помощью нелинейного ортогонального корректирующего фильтра (рис. XVIII.3,а). Блок-схема системы изображена на рис. XVIII.3,6.

Рассмотренный выше метод синтеза оптимальных нелинейных систем может быть использован для анализа объектов управления по экспериментальным данным (идентификация).

Действительно, если обозначить через сигнал на выходе объекта управления, многомерные импульсные переходные функции которого неизвестны, а через входной сигнал нелинейной модели, то алгоритм (XVII 1.90) позволяет определить нелинейный ортогональный фильтр, обеспечивающий минимум среднеквадратического отклонения между сигналами на выходе реального объекта и его модели. Блок-схема такой системы приведена на рис. XVIII.5. Итак, применение функциональных рядов Вольтерра и ортогональных спектров позволяет успешно решать задачи анализа и синтеза нелинейных систем автоматического регулирования даже в тех случаях, когда проектировщик системы не располагает полными данными о динамических характеристиках объекта регулирования.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)