8. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ДЛЯ АНАЛИЗА ЗАМКНУТЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Нелинейные системы автоматического регулирования можно разделить на две группы. К первой группе относятся системы, которые проектируются как линейные системы; однако в силу малости зон линейной работы элементов системы при реальных воздействиях они являются нелинейными. Вторая группа включает системы, которые проектируются специально как нелинейные.

При анализе замкнутых систем с заданной структурой и с заданными воздействиями необходимо знать, из каких составляющих состоит сигнал на входе нелинейного элемента (центрированный случайный сигнал или сигнал, содержащий регулярную постоянную или гармоническую составляющие). Состав сигнала на входе нелинейного элемента зависит от вида воздействия и от характеристик системы.

Рис. XVII.27. Структурная схема системы с нелинейным элементом типа ограничения зоны линейности

Первую группу систем в связи с этим можно разделить на две подгруппы:

1. Системы, в которых не могут возникнуть автоколебания при действии на них регулярных и случайных возмущений. Основной целью при анализе таких систем является оценка точности воспроизведения регулярного сигнала и случайной ошибки при наличии нелинейного элемента.

2. Системы, в которых могут возникать автоколебания при воздействии на них случайных и регулярных возмущений. К таким системам относятся устойчивые системы, имеющие в цепи сигнала ошибки нелинейную характеристику типа ограничения зоны линейности. Особенностью анализа таких систем является определение величины регулярного и случайного воздействий, при которых система еще остается устойчивой и не входит в режим автоколебаний.

При анализе таких систем часто необходимо оценивать точность работы автоколебательной системы и определять допустимые величины воздействий, при которых в системе еще существует предельный цикл (т. е. автоколебания не срываются).

Выведем формулы, по которым можно рассчитать характеристики точности работы систем первой и второй подгрупп. Специфичным для систем первой подгруппы является то, что на входе нелинейного элемента сигнал не содержит гармонической составляющей и поэтому в данном случае представляет интерес лишь

эквивалентное усиление этого элемента по регулярной негармонической и случайной составляющим.

Примем, что структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. XVI 1.27. На схеме приняты следующие обозначения: — передаточные функции элементов системы; — нелинейный элемент; — коэффициент обратной связи; — входной сигнал, состоящий соответственно из полезной (регулярной или случайной) составляющей и помехи; — сигнал на выходе системы; — сигнал ошибки.

Напишем уравнения, связывающие сигнал на входе нелинейного элемента с сигналом в форме Лапласа

Преобразование Лапласа для сигнала на выходе нелинейного элемента можно записать в виде

Запишем уравнение вида

Исключая из уравнений (XVII. 110), (XVII. 111) и (XVII. и получим следующее уравнение:

где

Возьмем обратное преобразование Лапласа для уравнения тогда получим интегральное уравнение

и произведем операцию осреднения каждого члена уравнения. В уравнении (XVII. 114) - импульсные переходные функции, равные соответственно

Для средних значений получим следующее уравнение:

Так как то на основании уравнения (XVII.116) можно написать окончательную формулу для расчета среднего значения ошибки в замкнутой нелинейной системе при замене нелинейного элемента эквивалентным коэффициентом а именно:

Для оценки спектральной плотности и дисперсии ошибки системы составим интегральное уравнение и произведем операцию осреднения над ним, тогда получим

Для дальнейшего вывода конечной формулы запишем следующие выражения корреляционных функций сигналов: корреляционная функция сигнала на выходе нелинейного элемента и взаимная корреляционная функция сигналов в соответствии с формулами (XVI 1.34) и (XVI 1.44) имеют вид

для других сигналов получим

Учитывая формулы (XVII.119) и (XVII. 120), уравнение (XVII. 118) можно написать так:

Из уравнения (XVII.121) для квадратов средних значений получим уравнение

соответствующее (XV 11.116).

Для случайной составляющей получим следующее уравнение:

Преобразование Фурье для уравнения (XVII. 123) дает следующий результат:

и, принимая во внимание, что уравнение (XVI 1.124) запишем в виде

Учитывая, что

получим окончательную формулу для расчета спектральной плотности ошибки

Спектральная плотность ошибки системы определяется из формулы (XVI 1.126) делением правой части на

Если при анализе системы можно пренебречь гармониками случайного сигнала, образовавшимися в результате прохождения его через нелинейный элемент, то формула для определения спектральной плотности имеет следующий вид:

или

где — есть коэффициент, определенный в соответствии с (XVII.13).

Характерным для второй подгруппы систем является то, что сигнал на входе нелинейного элемента содержит гармоническую составляющую и поэтому эквивалентное усиление этого элемента должно определяться по гармонической составляющей, регулярной негармонической и случайной составляющим. Аналогичным, с точки зрения расчета эквивалентных усилений нелинейного элемента, будет случай, когда на вход системы поступает регулярный гармонический сигнал. Рассмотрим блок-схему такого типа системы (рис. XVII.28). На этом рисунке и

передаточные функции элементов системы, а — нелинейный элемент с характеристикой

Пусть сигнал на входе системы будет а сигнал помехи будет иметь корреляционную функцию Примем, что сигналы имеют такую регулярную составляющую, когда на входе нелинейного элемента будет постоянное среднее значение сигнала ошибки

Обозначим сигнал ошибки системы сигнал на выходе нелинейного элемента а выход системы

Рис. XVII.28. Структурная схема системы с воздействиями

Запишем уравнение, связывающее сигнал на входе нелинейного элемента и входной сигнал в форме Лапласа,

Преобразование Лапласа сигнала на выходе нелинейного элемента можно записать в виде соотношения (XVII. 111). Для сигнала имеем

Исключая из уравнений (XVII.129) получим уравнение

где

Таким образом, уравнение (XVII.131) устанавливает связь между сигналом возмущающим воздействием и сигналом на входе нелинейного звена.

Используя уравнение (XVII.131), определим связь между средним значением сигнала на входе нелинейного элемента со средними значениями управляющего сигнала и

возмущающего воздействия Обратное преобразование Лапласа уравнения (XVII. 131) дает

где — импульсные переходные функции, равные соответственно

Проведя операцию осреднения в уравнении (XVII. 134), для средних значений получим

Используя формулу для одномерной характеристической функции неслучайного сигнала

выражение для среднего значения на выходе нелинейного элемента может быть сведено к следующему виду:

Так как сигнал ошибки представляет собой сумму двух составляющих

и, как было показано ранее, эти составляющие не коррелированы, то характеристическая функция будет следующей:

где — характеристическая функция неслучайной составляющей и

— характеристическая функция случайной составляющей. Следовательно, уравнение (XVII. 138) примет вид

Кроме того, применив для разложение в степенной ряд, а именно:

среднее значение сигнала на выходе нелинейного звена можно записать так:

где

Когда нелинейная характеристика является симметричной (нечетной), то в выражении (XVII. 146) существуют только нечетные члены разложения

В формуле (XVII. 146) значения при являются малыми величинами, поэтому, исходя из уравнений (XVII. 136) и (XVII. 146), можно найти следующие соотношения, не принимая во внимание члены, соответствующие

Для того чтобы характеризовать точность системы, необходимо определить корреляционные функции процессов и взаимно корреляционные функции. было показано, что корреляционная функция сигнала на выходе нелинейного звена будет

где

Сигнал на входе нелинейного звена имеет вид (XVII.139). Поэтому характеристическая функция (XVII. 149) может быть преобразована в следующую формулу:

где

и

Подставляя уравнение (XVII. 152) в формулу (XVII. 148), получим

Применяя разложение в ряд для

а также следующее соотношение:

корреляционную функцию (XVII. 153) можно записать как

Теперь положим, что

а из уравнения (XVII. 134) получим следующее интегральное уравнение:

Решение уравнения (XVII. 162) позволяет найти характеристики точности систем. Однако предварительно определим взаимно корреляционную функцию между входным и выходным сигналами нелинейного элемента, которая будет иметь вид

Уравнение (XVII.163) может быть сведено к выражению

где

Таким образом, уравнения (XVI 1.156) и (XVII. 164) с учетом того, что сумма должна быть нечетной, могут быть записаны соответственно как

и

где

и

Предполагая, что высокочастотные составляющее регулярного сигнала и случайного процесса после прохождения через нелинейное звено малы, уравнение (XVI 1.166) можно записать

и уравнение (XVII. 167) примет следующий вид:

Теперь рассмотрим два крайних случая работы системы, во-первых, когда регулярный сигнал равен нулю, т. е. , и поэтому сигнал на входе нелинейного звена только случайный и, во-вторых, когда действует только регулярный сигнал, а помеха

В первом случае эквивалентный коэффициент усиления нелинейного звена по регулярной составляющей равен нулю, становится равным .

Кроме того, формулу (XVII. 165) можно записать как

Уравнения (XVII.170) и (XVII.171) для этого случая примут соответственно вид

Следует заметить, что коэффициенты и равны в данном случае соответственно коэффициентам и вычисленным с помощью разложения Крамера. Подставим выражения (XVII.173) и (XVII.174) в уравнение (XVII.118); при условии, что это уравнение может быть выражено как

Подставляя также в уравнение (XVI 1.136) и возведя обе части в квадрат, получим для средних значений

Тогда уравнение (XVII. 175) может быть сведено к следующему:

Преобразование Фурье уравнений (XVII. 177) дает следующий результат:

Из уравнения (XVII. 178) можно получить соотношение, определяющее связь между возмущающим воздействием и сигналом на входе нелинейного звена, при условии, что членами с в уравнениях (XVI 1.166) и (XVII. 167) пренебрегаем, а именно:

Теперь рассмотрим второй случай, когда отсутствует помеха, т. е. и входной сигнал является синусоидальным. В этом случае Тогда соотношение между амплитудой сигнала на входе нелинейного звена и амплитудой сигнала на входе системы можно выразить следующим образом:

Рассмотрим совместное действие на систему синусоидального сигнала и помехи.

В уравнениях (XVII.180) и (XVII.171) на основании уравнения (XVI 1.165) для можно написать следующие зависимости:

и

Применяя разложение функции Бесселя в степенной ряд, уравнение (XVII. 165) может быть записано в следующем виде:

В уравнении (XVII.183) необходимо оценить интеграл

Раскладывая в степенной ряд, получим для (XVII. 184) выражение

В уравнении (XVII. 185) можно определить, что все члены, за исключением первого и второго, не имеют особых точек в плоскости для всех положительных поэтому значение должно равняться нулю. Когда только первый и второй члены имеют полюс в начале координат. Подставляя получим следующий результат для

и для или имеем

Объединяя результаты интегрирования для интеграла (XVII. 184), получим

Теперь для (XVII. 185) можно записать

Поэтому, используя формулы (XVII.168), (XVII.169) и (XVII.185), уравнения (XVII.171) и (XVII.172) могут быть сведены к следующим:

и

Если ввести эквивалентные усиления, то уравнения (XVII. 190) и (XVII. 191) можно выразить следующим образом:

где

Так как на систему действует синусоидальный сигнал и случайная помеха и сигнал на входе нелинейного звена поэтому может

быть представлен формулой (XVII. 139), то для корреляционной функции можно написать такую формулу:

Допуская, что не существует корреляции между сигналом и помехой и используя формулу (XVII. 191), получим следующий вид уравнения (XVII. 162):

Из уравнения (XVII. 196) для средних значений получим

Преобразование Фурье уравнения (XVII. 196) дает следующий результат:

Таким образом, уравнение (XVII.198) есть линеаризованное уравнение нелинейной системы, входной сигнал которой представляет синусоиду, на которую наложена случайная помеха. Уравнение (XVII. 198) представляет собой связь между спектральной плотностью сигнала на входе нелинейного звена и спектральной плотностью входного сигнала системы.

Из этого уравнения трудно определить на входе нелинейного звена при известной спектральной плотности

сигнала однако можно рассмотреть два соотношения

и методом последовательных приближений или графическим способом найти решение уравнения (XVII. 198).