2. АВТОКОЛЕБАНИЯ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ

Автоколебания в релейных системах с элементами (см. рис. XIII.2, а и б). Предположим, что существует автоколебательный режим с периодом колебаний и с переменными в момент переключения равными Это значит, что неустановившиеся колебания с промежутками между переключениями и со значениями переменных в моменты переключения и должны сойтись к автоколебаниям. Иными словами

Заменяя в уравнениях (XIII.5) значение на , а на найдем, что

Уравнение (XIII.9) и условие (XIII. 10) в автоколебательном режиме приобретают вид

где

Если обозначить для выходной сигнал линейной части системы в установившемся стационарном режиме, то для каждой компоненты будем иметь

Соответственно производная выходного сигнала

при

Таким образом, все переменные системы определяются через полупериод автоколебаний . Полупериод колебаний находится из уравнения периодов (XIII.22). Уравнение периодов можно решить графически. Для этого строится кривая функции Все точки пересечения этой кривой с прямой, параллельной оси и находящейся от нее на расстоянии а, будут корнями уравнения периодов. Для релейной характеристики (рис. XIII 2, а) корни уравнения периодов определяются как точки пересечения Р (9) с осью абсцисс. Каждому корню уравнения периодов соответствует периодическое решение исходной системы разностных нелинейных уравнений. Устойчивым периодическим решениям соответствуют автоколебательные режимы, которые могут наблюдаться в данной релейной системе.

Для системы с запаздыванием в релейном элементе из уравнений (XIII.5), (XIII. 13) и условия (XIII.6) получим для периода периодического режима

Как видно, запаздывание изменяет вид уравнения периодов и условие переключения.

Автоколебания в релейных системах с элементами (см. рис. XIII. 2, в и г). В установившемся периодическом режиме при будем иметь:

где — значения координат в момент включения и выключения в периодическом режиме.

Далее, если выход линейной части в периодическом режиме на этапе импульса обозначить

а на этапе паузы, как для , то для периодического режима будем иметь

Так как , то из уравнений (XIII.26) и (XIII.29) при соответствующих значениях найдем

Из уравнений (XIII.27) и (XIII.82) при — Аучитывая выражения (XIII.32), определим условия отключения

Из уравнений (XIII.30) и (XIII.31) при находим условия включения

Уравнения периодов (XIII.33) и (XIII.35) являются двумя уравнениями с двумя неизвестными. Их можно решить графически следующим образом. Строятся для различных и фиксируются точки пересечения кривых с прямой Таким образом, находится зависимость полупериода от для всех точек пересечения и строится кривая функции Так же строится для различных , фиксируются точки пересечения кривых с прямой и строится график функции Точки пересечения графиков функций определяет все корни системы уравнений (XIII.33), (XIII.36) или все периодические решения системы разностных уравнений (XIII.15), (XIII.16а), (XIII.18) и (XIII.19а) или (XIII.15), (XIII.16), (XIII.18), (XIII.19) при Устойчивым периодическим решениям будут соответствовать автоколебательные режимы. В табл. XIII. 1 дана сводка периодических решений, т. е. функции для различных релейных элементов

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

и различных передаточных функций линейной части системы. Там же приведены периодические решения несимметричные относительно оси времени, получающиеся, в частности, при постоянно действующих возмущениях на автоколебательную систему.

Пример 1. Для схемы (рис. XIII. 1) возьмем: релейный элемент (рис. XIII.2, в) с зоной нечувствительности и с запаздыванием при включении и отключении Тогда на основе формул (XIII.33) и (XIII.34) получим

По этим формулам на рис. XIII.6 и XIII.7 построены графики

Там же найдены точки пересечения с прямыми соответственно. По точкам пересечения строим кривые (рис. XII 1.8). Эти кривые пересекаются при сек и что является решением примера.

Рис. XIII. 6. Кривые функции (к примеру 1)

Рис. XIII. 7. Кривые функции (к примеру 1)

Заметим, что при когда релейный элемент (см. рис. XIII.2, в) превращается в элемент (см. рис. XIII.2, а)

периодические решения находятся как точки пересечения кривой

с осью абсцисс (см. рис. XIII.6). Таких точек пересечения две: при и при Какое из периодических решений соответствует автоколебательному режиму, устанавливается на основе исследования устойчивости периодических решений.

Рис. XIII. 8. Определение периодического решения (к примеру 1)