9. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Пусть нелинейная система описывается функционалами типа Вольтерра.
Для такой системы можно записать
где
— ядра замкнутой нелинейной системы.
Математическое ожидание и корреляционная функция выходного процесса для данного класса систем автоматического регулирования определяются формулами вида
где
— момент
порядка функции
Вычисление статистических характеристик выходного сигнала нелинейной системы по формулам (XVIII.73, XVIII.74) является весьма трудной задачей. Представление ядер высокого порядка ортогональными разложениями может значительно облегчить процесс вычисления статистических свойств сигнала
Действительно, представляя импульсные переходные функции высокого порядка в виде
зависимости для математического ожидания и корреляционной функции можно переписать в следующем виде:
Вводя обозначения:
и
получим окончательные формулы
В случае, если на вход нелинейной системы действует нормальный стационарный случайный сигнал, формулы
и (XVIII.81) значительно упрощаются, так как в этом случае все операции по расчету функций и
сводятся к двойному интегрированию. Это объясняется свойством моментов высокого порядка:
где
запись
означает, что последовательность
разбивается на произвольные пары, а произведение П берется по всем различным парам этого разбиения; сумма Е берется по всем разбиениям.
Таким образом, процесс вычисления статистических характеристик выходного сигнала нелинейной системы сводится к следующим операциям:
1) находятся многомерные передаточные функции замкнутой: нелинейной системы;
2) по формулам (XVIII.28) или (XVIII.36) рассчитываются многомерные обобщенные моменты импульсных переходных функций нелинейной системы;
3) при помощи зависимостей (XVIII.27), (XVIII.35) вычисляются элементы обобщенного спектра импульсных переходных, функций;
4) по формулам (XVIII.78) и (XVIII.79) вычисляются функции
5) строятся функции
согласно уравнениям (XVIII.80) и (XVIII.81).
Пример. Пусть на нелинейную систему, передаточные функции которой имеют вид
воздействует нормальный белый шум с корреляционной функцией
Элементы обобщенного спектра для этой системы сведены в табл. XVIII.5, 6 и 7.
Учитывая, что на вход действует нормальный случайный процесс и используя формулу (XVIII.81) при
получим, что дисперсия выходного сигнала нелинейной системы при С— 1 (уровень спектральной плотности) равна
Таблица XVIII.5 (см. скан)
Таблица XVIII.6 (см. скан)
Таблица XVIII.7 (см. скан)
Заметим, что при анализе нелинейных систем мы ограничиваемся лишь конечным числом членов ряда Вольтерра. Однако на практике часто встречаются полиномиальные нелинейности и в этом случае полученные выше формулы полностью свободны от ошибки аппроксимации нелинейностей и при конечном суммировании.