4. УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОКОЛЕБАНИЙ

Для исследования устойчивости автоколебаний необходимо осуществить линеаризацию исходных нелинейных разностных уравнений или составить линейные разностные уравнения для малых отклонений от параметров исследуемого автоколебательного режима.

Рис. XIII. 10. Решение уравнения периодов

Так из уравнений (XIII.5) видно, что

Обозначая представим нелинейную функцию двух переменных в виде ряда

где

нелинейный член ряда, содержащий слагаемые из старших степеней и их произведений.

Так как не принимается во внимание ввиду малости и то в итоге получается разностное уравнение первого приближения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим более подробно уравнения первого приближения для различных видов релейных элементов.

Уравнения для систем с релейными элементами (см. рис. XIII.2, а и б). Для удобства обозначим Рассматривая релейный элемент с запаздыванием, подставим в систему уравнений (XIII.5), (XIII.13) Далее, представляя нелинейные функции линейным приближениям рядов и исключая

тождество, относящиеся к автоколебательному режиму, получим следующую систему линейных разностных уравнений:

где

Исключая из уравнений (XIII.40) и (XIII.41) переменную получим

где

Задаваясь матрицей столбцом начальных условий с компонентами , подвергнем уравнение (XIII.42) -преобразованию (см. кн. 2, гл. XIII)

где Е — единичная матрица;

— матрица-столбец с компонентами являющимися изображениями переменных т. е.

— матрица-столбец начальных условий с компонентами .

Для исследования устойчивости автоколебаний потребуется определитель матрицы . Этот определитель можно записать:

Исследуемые колебания устойчивы, если корни уравнения

располагаются внутри круга единичного радиуса комплексной плоскости Покажем, что один из корней уравнений (XIII.41) всегда равен нулю. Верхней строке определителя и крайнему верхнему столбцу припишем нулевые номера. Далее умножим первую строку определителя а первый столбец на Вторую строку умножим на а второй столбец на проделывая эту операцию со всеми к-строками и к-столбцами. Определитель от этих операций не изменится, но примет следующий вид:

Складывая с верхней строкой все остальные -строк и учитывая, что получим

Таким образом, доказано, что один из корней уравнения (XI 11.45) действительно равен нулю.

Примеры исследования устойчивости автоколебаний

Пример 2. Пусть

т. е.

где

Если корень меньше единицы, автоколебания устойчивы, если больше единицы — неустойчивы. Для данного случая, когда

(напомним, что откуда

При релейной характеристике (см. рис. XIII.2, а) для данного примера кривая пересекает ось абсцисс дважды [см. рис. XIII.6, кривая при малом , когда близка к единице и при большом , когда значительно меньше единицы. Из выражения для видно, что при большом будет иметь место устойчивый режим, так как а при малом режим будет неустойчивый, поскольку Если запаздывание равно нулю и то этом случае при релейном элементе (см. рис. XIII.2, б) возможен единственный устойчивый автоколебательный режим.

Пример 3. Пусть

где это соответствует случаю, когда объект регулирования имеет передаточную функцию а серводвигатель вместе с релейным элементом охвачен жесткой обратной связью с коэффициентом усилителя В данном случае при

откуда

Как видно по модулю всегда при всех меньше единицы. При малых корень положителен, что соответствует монотонному приближению всех параметров колебаний к параметрам автоколебаний. При больших коэффициентах обратной связи становится отрицательным. Это означает, что процесс уменьшения отклонений и носит колебательно-затухающий характер. Это происходит как раз в том случае, когда в релейной системе наблюдается скользящий режим, сходящийся к автоколебаниям.

Уравнения для систем с релейными элементами (см. рис. XIII.2, в и г). Рассмотрим наиболее общую систему уравнений (XIII.15), (XIII.16а), (XIII. 18) и (XIII.19а). Обозначим:

Подставляя эти величины в исходную систему уравнений и производя описанную выше процедуру линеаризации системы нелинейных уравнений (XIII.16а), (XIII. 18) и (XIII.19а), получим

где

Подставляя уравнение (XIII.47) в (XIII.46), а уравнение в (XIII.48), запишем их в матричной форме

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

или

где

В примере 1 получено следовательно,

и

Таким образом, единственное периодическое решение оказывается устойчивым. Если в данном примере увеличить значение зоны нечувствительности а, то можно получить два периодических решения соответственно с двумя периодами колебаний. Устойчивое решение и, соответственно, автоколебания будут при большем значении периода. При меньшем значении периода становится большим и оставаясь положительным, оказывается большим 1,0. Дальнейшее увеличение приводит к сближению обоих периодических решений. При бифуркационном оба периодических решения сливаются в одно. Наконец при автоколебания в системе существовать не могут.