5. АЛГОРИТМ ВТОРИЧНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Контуры самонастройки по замкнутому циклу в значительной степени устраняют недостатки разомкнутых аналитических самонастраивающихся систем: необходимость достаточно точной реализации алгоритмов; зависимость показателя качества от методических погрешностей вывода алгоритма; нарушения исходных предпосылок в постановке задачи и т. д.

Рис. XX. 17. Цепь самонастройки по замкнутому циклу

При синтезе цепей самонастройки по замкнутому циклу предварительно необходимо выделить настраиваемые параметры и сформулировать критерии самонастройки. Естественно, показатель качества самонастройки должен зависеть от настраиваемых параметров, что может проверяться, например, применением теории чувствительности.

Цепь самонастройки по замкнутому циклу может быть представлена в виде вычислителя ошибки в настройке параметра и управляющего элемента (рис. XX. 17). Вычисление ошибки производится по текущим значениям переменных системы. Управляющий элемент изменяет настраиваемый параметр так, чтобы свести ошибку к минимуму.

Цепи самонастройки по замкнутому циклу могут быть построены применением градиентного метода или метода стохастической аппроксимации.

Задачи, решаемые методом стохастической аппроксимации, можно разделить на два основных типа. В задачах первого типа известно, что некоторый показатель является функцией параметра а. Необходимо найти такое значение этого параметра, которое дает показателю заданное значение При этом известно также, что и

Точному измерению или разности препятствует помеха

Алгоритм стохастической аппроксимации в данном случае запишется следующим уравнением:

где — некоторый переменный коэффициент.

Для того чтобы параметр с вероятностью 1,0 стремился к переменный коэффициент должен отвечать некоторым требованиям

Условиям (XX. 19) отвечает широкий класс функции, например: при при

В задачах второго типа известно, что показатель качества является функцией параметра и существует значение при котором имеет неизвестный экстремум. Требуется найти значение Алгоритм основан на необходимом условии экстремума функции: в точке экстремума частные производные должны быть равны нулю и применяется, когда они могут быть измерены лишь со случайной погрешностью Уравнение алгоритма имеет вид

где выбирается знак плюс, если — максимум, и минус, если — минимум. Коэффициент должен отвечать условиям аналогичным (XX. 19).

В зависимости от способа вычисления частных производных, т. е. ошибок цепей самонастройки, будет получен аналитический или поисковый алгоритм. Аналитический алгоритм вычисления частных производных синтезируется по аналитическим

выражениям, связывающим показатель с искомыми параметрами (см. гл. III, § 11 в кн. II, а также работу [1]).

В градиентном методе определение параметра также осно вано на обнулении частной производной показателя по параметру, являющейся ошибкой цепи самонастройки.

Уравнение метода в простейшем случае может быть записано в виде

где или в общем виде:

Алгоритм второго типа метода стохастической аппроксимации и алгоритм градиентного метода, по существу, не отличаются друг от друга. Первый лишь специально предназначен для борьбы с помехами и поэтому полоса пропускания его управляющего элемента уменьшается с течением времени. Если помехами можно пренебречь, то специальные ограничения на коэффициент в стохастическом алгоритме становятся ненужными, сохраняется лишь условие устойчивости.

Алгоритмы рассмотренных методов были сформулированы в непрерывной форме. Однако все они имеют дискретные аналоги. Например, дискретный алгоритм градиентного метода — аналог уравнения (XX.21), имеет вид

При формировании управляющего элемента цепи самонастройки учитывается идеальный закон изменения настраиваемого параметра, наличие помех. Так, если идеальное значение параметра постоянно, то в управляющий элемент целесообразно ввести один интегратор. Если идеальное значение настраиваемого параметра меняется примерно по линейному закону, желательно, чтобы цепь самонастройки имела два интегрирующих звена. Для фильтрации помех управляющий элемент должен иметь, например, увеличивающуюся постоянную времени и т. д.

В тех случаях, когда идеальное значение настраиваемого параметра меняется во времени, повышение качества самонастройки может быть достигнуто путем управления настраиваемым коэффициентом по разомкнуто-замкнутому циклу.

Для пояснения общих положений, изложенных выше, рассмотрим формирование алгоритма вторичной оптимизации системы, построенной по структурному принципу. Для определенности будем полагать, что система строится с эталонной моделью и в результате первичной оптимизации корректирующий фильтр

оказался включенным в прямую цепь (рис. XX. 18). Допустим также, что выполняются условия квазистационарности и поэтому объект, корректирующий фильтр и модель, можно описывать передаточными функциями

Рис. XX. 18. Цепи самонастройки по замкнутому циклу в системе, построенной по структурному принципу

Синтезируем цепи самонастройки по замкнутому циклу параметров корректирующего фильтра, используя градиентный метод (XX.21) и принимая за критерий вторичной оптимизации условие

где

Вначале необходимо составить математическое описание основного контура управления. Очевидно, что

Далее следует найти выражение частных производных от показателя вторичной оптимизации по настраиваемым параметрам и подставить его в уравнение (XX.21).

Имея в виду, что зависят от настраиваемых параметров а, из выражений (XX.24), (XX.25) найдем

а из выражения (XX.26) получим

где

Подставляя формулу (XX.27) в (XX.21), получим уравнение цепей самонастройки:

где

Таким образом, выражения (XX.28), (XX.29) и (XX.30) описывают алгоритм вторичной оптимизации. В схеме на рис. XXI.18 вычислитель 1 строится по передаточной функции и реализует соотношения (XX.28), (XX.29). Блоки 2 и 3 функционируют по уравнению (XX.30).

Отметим, что управляющие элементы здесь выбраны в виде интеграторов, так как идеальные значения параметров — медленно меняющиеся функции времени. Чем больше коэффициенты передачи управляющих элементов тем «скорость» самонастройки выше. Однако при достаточно больших и начальных ошибках настройки скорость изменения параметров становится значительной, поэтому нарушаются условия квазистационарности, которые были положены в основу синтеза алгоритма; следовательно, система может стать неработоспособной. В ряде случаев вычислитель 1 может быть упрощен так, чтобы его передаточная функция не зависела от неизвестных параметров объекта [1].