3. ПЕРВИЧНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ САМОНАСТРАИВАЮЩИХСЯ

СИСТЕМ

Синтез алгоритма первичной оптимизации состоит в решении задачи оптимизации с целью определения структуры и параметров оптимальной модели самонастраивающейся системы. Постановка задачи первичной оптимизаций любой самонастраивающейся системы включает формулировку ряда обязательных условий (см. рис. XX.9), прежде всего — формулировку критерия первичной оптимизации на основе изучения конечной цели управления.

Часто выполнение конечной цели управления требует оптимизации системы относительно внешних воздействий. Показатель первичной оптимизации в этих случаях является функционалом от переменных системы, характеризующих качество ее работы, например, точность, быстродействие; эти критерии широко известны в теории оптимальных систем. К ним относятся статистические критерии, среди которых отметим критерий минимума среднеквадратической ошибки во всех его модификациях [12], например, критерий (II. 88), интегральные статистические критерии; критерии первичной оптимизации систем, находящихся под воздействием сигналов, рассматриваемых в виде детерминированных функций времени.

Критерием первичной оптимизации системы по внешним воздействиям может быть условие максимума быстродействия, условие инвариантности к внешним возмущениям и т. д. Первичная оптимизация систем, самонастраивающихся по динамическим характеристикам объекта управления, может производиться также из условия стабильности динамических свойств систем, из условия работы системы на границе устойчивости и т.

Постановка задачи первичной оптимизации аналитической самонастраивающейся системы включает также описание управляющих и возмущающих воздействий, задание идеального преобразующего оператора системы, сведения о структуре системы, ограничения на переменные системы, и, наконец, класс систем, в котором производится синтез. Для пояснения содержания задачи первичной оптимизации рассмотрим несколько примеров (см. также [14]).

Первичная оптимизация фильтров, самонастраивающихся по входному сигналу. Пусть на вход фильтра в момент времени поступает полезный сигнал и аддитивная помеха являющаяся стационарным белым шумом с уровнем спектральной плотности (может быть и неизвестным).

Полезный сигнал является непрерывной ограниченной функцией времени на интервале работы фильтра заданной своим аналитическим выражением с неизвестными значениями параметров, например:

где — неизвестные величины, причем

Далее, будем полагать, что идеальный выходной сигнал фильтра равен входному сигналу, т. е. ограничения отсутствуют, структура фильтра заранее неизвестна, критерий первичной оптимизации есть минимум среднеквадратической ошибки в каждый момент времени при нулевой динамической:

и, следовательно (см. гл. III), синтез нужно проводить в классе нестационарных систем.

Импульсная переходная функция оптимальной модели фильтра находится в результате вычисления условного экстремума среднеквадратической ошибки (см. гл. III) в виде

при ограничении

Итак, оптимальная импульсная переходная функция

по ней можно найти структуру и параметры оптимальной модели фильтра. Для этого, введя обозначения

представим в выражении (XX.9) в виде

По формуле оптимальная модель фильтра непосредственно может быть представлена разомкнутой цепью (рис. XX. 10, а), которая путем простого структурного преобразования, заключающегося в переносе коэффициента через интегратор, приводится к схеме (рис. . Раскрывая с помошью выражений (XX. 10) формулы коэффициентов можно перейти к схеме на рис. ХХ.10, в.

Оптимальная модель на рис в справедлива для любого полезного сигнала Например, для сигнала, описываемого формулой (XX.5), из схемы рис. ХХ.10, в получим оптимальную модель, которую путем структурных преобразований представим в виде одной из схем на рис. Коэффициенты этих моделей зависят от неизвестного параметра полезного сигнала

Оптимальные динамические характеристики аналитической самонастраивающейся системы, полученные в процессе решения задачи первичной оптимизации, позволяют вычислить предельное значение показателя цели управления. Так, в рассматриваемом примере показатель цели управления характеризуется предельными значениями динамической ошибки и

(кликните для просмотра скана)

среднеквадратической Последняя находится подстановкой выражения (XX.9) в формулу (XX.7), т. е.

Два варианта оптимальной модели фильтра на рис. XX. 11, как и следовало ожидать, имеют одно и то же предельное значение среднеквадратической ошибки, получаемое подстановкой соотношения (XX.5) в формулу (XX. 12):

Первичная оптимизация аналитической самонастраивающейся системы по типовому сигналу. Предположим, что реальный управляющий сигнал лишь на некоторых отрезках времени, малых по сравнению с полным временем работы системы, может отличаться от типового сигнала На этих отрезках времени ошибка оптимальной системы, рассчитанной на типовой сигнал, резко возрастает. Для ограничения ошибки самонастраивающаяся система с помощью цепей самонастройки по замкнутому циклу увеличивает свою полосу пропускания, и вновь ее уменьшает, как только сигнал становится вновь типовым.

Итак, предположим, что на вход системы воздействует полезный сигнал и аддитивная стационарная помеха Известно аналитическое выражение полезного сигнала, типовое для значительных отрезков времени, например:

где - неизвестные параметры и статистические характеристики помехи.

Критерием первичной оптимизации системы является минимум среднеквадратической ошибки системы при нулевой динамической в воспроизведении типового полезного сигнала в установившемся режиме.

Поскольку оптимизируется установившийся режим, то синтез нужно проводить в классе стационарных систем, среди которых выбраны системы с конечной памятью. Полоса пропускания последних определяется памятью системы которая задается, исходя из требования к времени переходного процесса при отработке типового сигнала.

Метод определения оптимальной импульсной переходной функции системы с конечной памятью дан в главе VII кн. II, см. также в работе [12].

Например, если типовой сигнал есть

где -неизвестно, а помеха стационарный — белый шум, то оптимальная импульсная переходная функция описывается выражением

а оптимальная передаточная функция — формулой

где — память системы.

Используя в этом примере простейшую аппроксимацию найдем желаемую передаточную функцию системы в виде

по которой составим модель системы, изображенную на рис. XX. 12.

Итак, в данном примере полоса пропускания определяется параметром, зависящим от При отклонении полезного сигнала от типового следует увеличивать коэффициент например, по закону

где — память системы при что можно сделать на основе измерения текущей динамической ошибки

Рис. XX. 12. Желаемая модель аналитической самонастраивающейся системы, оптимизируемой по типовому сигналу

Первичная оптимизация аналитических самонастраивающихся систем в классе систем с переменными параметрами. Спектральный аппарат анализа линейных систем с переменными параметрами, рассмотренный в гл. IV, позволяет выражать показатель первичной оптимизации через передаточные функции системы и характеристики внешних воздействий, что дает возможность провести первичную оптимизацию аналитической самонастраивающейся системы, не прибегая к предположению о квазистационарности как системы, так и внешних воздействий. При этом решение задачи сводится к определению экстремума функции многих переменных.

Метод решения задачи первичной оптимизации при неполностью заданной структуре системы фактически рассмотрен § 16 и § 17 гл. IV. Если структура системы задана, то первичная

оптимизация сводится к определению идеальных законов изменения настраиваемых параметров и решается следующим образом. Вначале составляются выражения, связывающие показатель первичной оптимизации Е со спектральными характеристиками настраиваемых параметров. Далее находятся такие спектральные характеристики настраиваемых параметров, которые дают экстремум показателю первичной оптимизации. Формально на этом этапе можно применять различные методы отыскания экстремума функций. Часто наиболее простой путь решения состоит в построении графиков показателя первичной оптимизации от ординат спектральных характеристик настраиваемых параметров, по которым уже находятся идеальные характеристики настраиваемых параметров. Простым примером, поясняющим данный метод, может служить задача, рассмотренная в § 18 гл. IV.

Рассмотренные примеры первичной оптимизации показывают, что сущность этого этапа синтеза состоит в использовании априорной информации для определения структуры, идеальных значений настраиваемых параметров самонастраивающейся системы и диапазона их изменения.

Если параметры оптимальной модели зависят от неизвестных параметров входного сигнала (оптимальные модели самонастраивающихся фильтров, систем с минимальной полосой пропускания и т. д.), то оптимальная модель может быть реализована лишь системой, самонастраивающейся по входному сигналу.

Если же параметры оптимальной модели зависят от неизвестных параметров объекта управления (оптимальные модели инвариантных систем, систем оптимальных по быстродействию, систем со стабилизацией динамических характеристик и т. д.), то оптимальная модель может быть реализована лишь системой, самонастраивающейся по динамическим характеристикам объекта управления.