5. УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОКОЛЕБАНИЙ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЕ

Автоколебания, или вынужденные колебания, найденные по характеристике релейной системы могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Физически эти колебания могут наблюдаться в том случае, когда они устойчивы.

Для исследования устойчивости автоколебаний и вынужденных колебаний («в малом») можно воспользоваться известными из литературы строгими способами [4], [5].

Все эти способы состоят в том, что рассматривается непериодическое решение, близкое к найденному периодическому, и исследуется отклонение между ними. Периодическое решение устойчиво, если это отклонение стремится к нулю, и неустойчиво в противном случае.

Исследование устойчивости Сводится к исследованию корней характеристических уравнений, порожденных некоторыми разностными уравнениями. Можно показать, что вынужденные колебания частоты устойчивы, если все корни характеристического уравнения

будут по модулю меньше единицы, т. е. если

Аналогичным образом, автоколебания частоты будут устойчивыми, если все корни характеристического уравнения

будут по модулю меньше единицы, т. е. если

В уравнениях (XV.35) и (XV.37), которые мы для краткости назовем уравнениями устойчивости, , где — коэффициенты формулы разложения (XV.2), определяемые формулами (XV.3), полюсы передаточной функции линейной части системы которые предполагаются здесь простыми и отличными от нуля. Для получения уравнения (XV.37) из уравнения (XV.35) нужно в последнем положить и разделить на .

При наличии кратных или нулевых полюсов у передаточной функции линейной части системы выражения усложняются.

Зависимость уравнений устойчивости от полюсов передаточной функции линейной части системы часто затрудняет их использование по той причине, что для сколько-нибудь сложной линейной части системы, содержащей внутренние обратные связи, элементы с распределенными постоянными, элементы с запаздыванием и т. п., вычисление полюсов становится весьма громоздким, а часто и практически неосуществимым. Поэтому преобразуем уравнения устойчивости к такой форме, которая не требовала бы предварительного определения полюсов а была бы непосредственно связана с амплитудно-фазовой характеристикой линейной части системы (как, например, характеристика релейной системы) и позволила бы простыми геометрическими построениями получить искомые результаты.

Положим в уравнении устойчивости тогда

Условие устойчивости заменится условием

где

По внешнему виду вторая часть уравнения устойчивости (XV.39) напоминает передаточную функцию, подобную передаточной функции систем импульсного регулирования (см. гл. XIII, кн. 2). Поэтому ее можно представить в форме, которая выражает через передаточную функцию линейной части системы.

Опуская выкладки, которые можно найти в работе [10], приведем окончательное выражение уравнения устойчивости вынужденных колебаний

и уравнения устойчивости автоколебаний

Для исследования устойчивости вынужденных колебаний представим уравнение устойчивости в форме

где

для данного значения частоты и амплитуды постоянная величина. В силу условий существования вынужденных колебаний (XV.29) величина К всегда положительна. Далее

Как видно из формулы (XV.39), имеет внутри полюсы где — частота вынужденных колебаний; число полюсов равное

Действительная часть этих полюсов совпадает с действительной частью полюсов передаточной функции линейной части системы

Устойчивость вынужденных колебаний определяется нулями функции число которых также равно в указанной полосе.

Вынужденные колебания будут устойчивыми, если действительная часть этих нуей отрицательна. Применив к формуле (XV.39) рассуждения, аналогичные тем, которые применяются для установления критерия устойчивости систем импульсного регулирования [9], приходим к следующему критерию устойчивости.

Вынужденные колебания частоты будут устойчивыми, если изменение аргумента при возрастании от 0 до будет равно , где — число полюсов передаточной функции линейной части системы с положительной действительной частью, т. е. если

В частности, если линейная часть системы устойчива, то

и

Если изобразить кривую то будет вектором, проведенным из точки к кривой (рис. XV.6). По расположению точки относительно можно судить об изменении аргумента а значит, и об устойчивости вынужденных колебаний.

Изменение аргумента при изменении от 0 до будет равно нулю, если числа переходов (при возрастании через отрезок действительной оси с верхней полуплоскости в нижнюю и с нижней полуплоскости в верхнюю равны друг другу.

Рис. XV.6. К критерию устойчивости вынужденных колебаний частоты

Изменение аргумента будет равно если разность между этими переходами равна

Называя переход (с возрастанием от 0 до ) через отрезок действительной оси с верхней полуплоскости в нижнюю положительным, а с нижней плоскости в верхнюю — отрицательным (рис. XV.6), критерий устойчивости вынужденных колебаний частоты можно сформулировать следующим образом.

Вынужденное колебание, частоты будет устойчивым, если разность между положительными и отрицательными переходами отрезка при возрастании от 0 до равна где — число полюсов передаточной функции линейной части, и неустойчивым в любом другом случае. В наиболее распространенных случаях, если линейная часть устойчива, то вынужденное колебание частоты будет устойчивым, если разность между положительными и отрицательными переходами отрезка равна нулю, и неустойчивым в любом другом случае.

Наконец, когда часть из полюсов передаточной функции линейной части равна нулю, т. е. линейная часть системы нейтральна, сформулированные выше критерии устойчивости остаются

справедливыми, если, как это обычно делается, дополнить дугой бесконечно большого радиуса, описывающего положительный угол где — число нулевых корней.

Таким образом, вопрос об устойчивости колебаний частоты сводится к построению годографа

и выяснению разности положительных и отрицательных переходов ее через отрезок

Годограф можно построить по амплитудно-фазовой характеристике линейной части системы — Для этой цели, задавшись значением разметим на (дополненной симметричной кривой для значений точки: где — частота вынужденных колебаний;

— любая частота, меньшая

Рис. XV.7. К построению по амплитудно-фазовой характеристике линейной части

Геометрическая сумма векторов, проведенных из начала координат к этим точкам (рис. XV.7), согласно формуле (XV.47), и определяет при

Задаваясь иными значениями в интервале аналогичным образом можно найти при всех интересующих нас значениях . В ряде случаев может оказаться более удобным построение производить путем сложения соответствующим образом смещенных вещественных и мнимых частей амплитудно-фазовой характеристики линейной части системы.

Если отделить в формуле (XV.47) вещественные и мнимые части, то получим

(кликните для просмотра скана)

Отсюда следует, что вещественная и мнимая части равны сумме вещественных и мнимых частей амплитудно-фазовых частотных характеристик линейной части системы

где

Для построения изобразим графически вещественную и мнимую части амплитудно-фазовой частотной характеристики системы (рис. XV.8, б) с обратным знаком, которые соответствуют, например амплитудно-фазовой частотной характеристике (рис. XV.8, а). Затем эти характеристики сместим вдоль оси частот на (рис. XV.9).

Рис. XV. 10. Кривая определяющая устойчивость автоколебаний и вынужденных колебаний

Производя суммирование для каждого значения в интервале от 0 до получим Построенные таким образом функции изображены на рис. XV.9 кривыми 1 в интервале и в остальных интервалах, где периодически повторяются.

По найденным значениям находим (рис. XV. 10)

Отметим некоторые свойства При учитывая формулу (XV.27), имеем

при

Если передаточная функция имеет полюсы, равные нулю, то слагаемое в левой части равенства (XV.50) при обращается в бесконечность

и, следовательно, в этом случае при

Величина

с точностью до множителя определяется непосредственно по характеристике релейной системы. Если провести из точки характеристики, соответствующей частоте вынужденных колебаний радиус-вектор то абсцисса точки пересечения его с прямой и будет равна .

Предположим, что линейная часть системы устойчива или нейтральна и что наибольшее по абсолютной величине пересечение кривой отрицательной части действительной оси имеет место при тогда условием устойчивости будет

Рис. XV.11. Определение величины

Рис. XV.12. К определению необходимого условия устойчивости

Учитывая равенства (XV.52) и (XV.50), это условие можно представить в виде

или (XV.53), откуда следует, что в этом случае вынужденные колебания, соответствующие , будут устойчивыми, а соответствующие неустойчивыми.

Для исследования устойчивости автоколебаний можно воспользоваться сформулированными выше критериями устойчивости, положив в выражении (XV.51) для тогда получим

Но ввиду равенства (XV.49) имеем

Следовательно, при проходит через точку

Это является следствием того, что уравнение (XV.39) при содержит лишний нуль

который отсутствует в уравнении (XV.37).

Для того чтобы применить сформулированные выше критерии устойчивости, нужно определить, имеется ли при переход через отрезок или он отсутствует. Для этой цели достаточно рассмотреть поведение при близких к 0. Для этого найдем производную от выражения (XV.47) по при

где -частота автоколебаний, и

Так как

то

Легко видеть, что

причем — нечетная функция, а — четная функция Принимая во внимание уравнения (XV.58), (XV.59), выражение (XV.56) можно представить в виде

С другой стороны, дифференцируя уравнение (XV.26) по получим

следовательно, из формулы (XV.60) имеем

Отсюда следует

Отсюда заключаем, что угол наклона касательной к в точке равен

Таким образом, касательная к в точке вертикальна и образует с осью абсцисс углы (рис. XV. если

и —90°, если

Применяя обычные рассуждения, связанные с обходом при малых значениях со точки на комплексной плоскости [11], лриходим к следующему заключению.

Если , то переход при через отрезок отсутствует.

Если при совершает половину положительного перехода.

Знак определяется по поведению характеристики в точках пересечения ее с отрицательной частью прямой которые определяют частоты автоколебаний. Как следует из рис. XV.14, , если характеристика пересекает прямую в точке снизу вверх, и если характеристика пересекает прямую сверху вниз.

Если линейная часть устойчива или нейтральна и отсутствует пересечение отрезка то тогда на основании ранее сформулированных критериев устойчивости заключаем, что автоколебания частоты устойчивы в том случае, когда

Это условие было получено ранее, исходя из физических соображений в работе [9].

В общем случае, когда отрезок пересекается кривой при условие (XV.66) является лишь необходимым условием устойчивости автоколебаний.

Рис. XV.13. К определению перехода в точке при исследовании устойчивости автоколебаний

Рис. XV.14. К необходимому условию устойчивости, определяемому по характеристике релейной системы

Тот факт, что условие (XV.66) является лишь необходимым условием, иным путем был установлен П. В. Бромбергом и независимо от него .

Неймарком.