4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ИЗМЕРЕНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ

Принцип действия и особенности систем. Экстремальные системы с измерением производной реагируют на знак или знак и величину производной у от регулируемого параметра. Изменение направления поискового (пробного) воздействия происходит в зависимости от знака у или в зависимости от комбинации знаков у их. При этом отыскивается значение входа которому соответствует нуль производной у или

Структурная схема системы, реагирующей на знак приведена на рис. XIX.20. Реверсивный двигатель изменяет координату x входа в ту или другую сторону с постоянной по величине скоростью. Сигнал, характеризующий скорость изменения выхода объекта, вырабатывается датчиком производной Сигнал от поступает на реверсирующее устройство (триггер), который сохраняет направление движения исполнительного

механизма неизменным при случае поиска максимума), и изменяет его на обратное при

Рис. XIX.20. Структурная схема экстремальной системы с измерением производной

Характер процесса поиска экстремума показан на рис. XIX.21. Здесь экстремальный регулятор включен в момент времени при Движение исполнительного механизма происходит в такую сторону, что х растет, а у убывает. При этом фиксирует отрицательный знак у.

Рис. ХIХ.21. Процесс поиска экстремума системы с измерением производной

По истечении времени запаздывания в элементах регулятора и прохождения зоны нечувствительности при происходит реверс системы. Далее начинается убывание х и возрастание у до тех пор, пока снова не будет пройден максимум у. В моменты происходят реверсы системы. Таким образом, устанавливается режим колебаний входа х относительно значения соответствующего

На рис. XIX.22 изображена структурная схема экстремального регулятора, учитывающего знаки у их Производные х и у подаются в устройство логического действия.

Недостатком таких схем является потеря устойчивости регулирования при интенсивном дрейфе экстремальной характеристики. Для обеспечения устойчивости системы необходимо применение стабилизирующих устройств таких же, как при экстремальных системах с запоминанием.

С целью уменьшения амплитуды колебаний системы при достижении экстремума в работе [38] предложено производить изменение х со скоростью, пропорциональной наклону экстремальной характеристики Для этого сигналы у их вводятся в делительное устройство. При реализации таких систем возникают трудности, связанные с делением на величину близкую или равную нулю.

В случаях большой инерционности объектов уменьшение времени поиска экстремума этих систем достигается введением воздействия по производным от выхода объекта так же, как и в системах с запоминанием.

Рис. XIX.22. Структурная схема системы с устройством логического действия

Периодические движения системы с постоянной скоростью исполнительного органа. Определим параметры установившегося движения системы в области экстремума с учетом влияния внешних возмущений. В простейшем случае это влияние внешнего возмущения приближенно может быть представлено как смещение экстремальной характеристики с постоянной скоростью в направлении оси ординат. Сигнал, воспринимаемый регулятором, равный производной от выхода объекта, обозначим через

Будем считать, что нелинейная характеристика объекта имеет вид и влияние его линейных динамических звеньев незначительным.

Тогда имеем

Вначале остановимся на случае, когда На рис. XIX.23 показано изменение соответствующее этому случаю. Прямой показана зависимость при и прямой

Предположим, что в начальный момент координата х равна Величина в начальный момент определяется точкой 1% затем происходит движение системы в сторону приближения к экстремуму, пока изображающая точка не достигнет точки 2.

В точке 2 величина отрицательная и равна по модулю зоне нечувствительности регулятора, а следовательно, происходит реверс системы. После реверса скачком уменьшается еще больше — до точки 3. Как видно, система переходит в режим непрерывных реверсирующих переключений и изменение координаты х в среднем прекращается.

Если в начальный момент при действии внешнего возмущения (см. рис. XIX.23), то система сразу переходит в режим непрерывных реверсирующих переключений при неизменной в среднем величине х. В случае, когда прямые согласно полученной выше формуле, эквидистантно смещаются вверх, что показано на рис. XIX.24.

Рис. ХIХ.23. Движение системы при

Рис. XIX.24. Движение системы

Тогда, при ограниченной величине в области экстремума устанавливается предельный цикл с увеличенной амплитудой изменения равной

Согласно рис. XIX. 24, из геометрических соображений имеем

Как следует из полученной формулы при большой величине скорости если то значение превышает максимальное значение координаты Тогда во время действия внешнего возмущения, если оно продолжительно, исполнительный орган уходит в одно из крайних положений, т. е. система теряет устойчивость. Предохранение системы от больших уходов или потери устойчивости, в данном случае, может быть осуществлено применением коммутатора, периодически реверсирующего систему.

Особенности работы данной системы при действии коммутатора такие же, как и системы с запоминанием.

Динамика системы с переменной скоростью исполнительного органа. Система, у которой скорость исполнительного органа не постоянна и пропорциональна имеет некоторые

преимущества перед рассмотренной выше — с постоянной скоростью — в отношении качества переходного процесса. Кроме того, эта система после окончания процесса поиска не колеблется в области экстремума, а останавливается, что также является ее положительным качеством [35].

Уравнения системы при наличии внешнего возмущения и инерционности объекта могут быть записаны следующим образом:

для нелинейного элемента объекта

для линейного элемента объекта, расположенного перед нелинейным,

где — константы; — постоянная времени; — сигнал на входе объекта;

для измерительного элемента

для серводвигателя

где

Введем обозначения

где — максимальная величина x в пределах рабочего диапазона; X — коэффициент, характеризующий интенсивность возмущения.

Для определения закономерностей движения системы воспользуемся методом построения ее фазового портрета в безразмерных координатах

Из уравнений (XIX.46) — (XIX.51) имеем

Решения (XIX.52), соответствующие различным начальным условиям, дают семейство фазовых траекторий системы. Их вид в значительной степени зависит от X. Параметр X может быть равен нулю (отсутствие внешнего возмущения), меньше нуля (понижение уровня экстремума) и больше нуля (повышение уровня экстремума).

Вначале определим вид фазовых траекторий системы при

Тогда уравнение (XIX.52) приобретает вид

и удовлетворяется при и любом а.

Рис. XIX.25. Фазовые траектории системы при

Если , то имеем

Для построения фазовых траекторий системы по уравнению (XIX.54) воспользуемся методом изоклин. На рис. XIX.25 пунктирными линиями показаны изоклины, соответствующие различным постоянным значениям производных при

Уравнение каждой из изоклин при имеет вид прямой, проходящей через начало координат:

Фазовые траектории системы показаны на рис. XIX.25 сплошными линиями.

В области между положительными полуосями и отрицательными полуосями и фазовые траектории почти вертикальны и направлены в сторону оси а. Следовательно, при любом в указанных пределах начальном состоянии системы фазовая скорость уменьшается до нуля с малым изменением а.

Рис. XIX.26. Фазовые траектории системы при

Если то система может сохранять состояние покоя после любого сколь угодно малого толчка вверх; при или вниз при начинается ее движение и изображающая точка асимптотически приходит к началу координат. В начале координат [точка экстремума функции к которой стягиваются фазовые траектории] равновесие системы устойчиво по Ляпунову.

Рассмотрим движение системы при Уравнение изоклины с согласно уравнению (XIX.52), в данном случае имеет вид

На рис. XIX.26 показаны пунктирными линиями изоклины, а сплошными — фазовые траектории системы при В данном случае система не имеет положения равновесия. Характер ее движения зависит от начальных условий.

Перейдем к рассмотрению движения системы при действии внешнего возмущения, повышающего уровень экстремума функции, чему соответствует

Рис. XIX.27. Фазовые траектории системы при

Тогда согласно (XIX.52) уравнение изоклины с имеет вид

На рис. XIX.27 показаны семейство изоклин (см. пунктирные линии) и фазовые траектории системы (см. сплошные линии) при а на рис. XIX.28 показаны фазовые траектории «полной» системы при . В последнем случае согласно

уравнению (XIX.52) фазовые линии «медленных» движений определяются формулой

Фазовые линии «медленных» движений при различных величинах X изображены на рис. XIX.29.

Как видно при и любом начальном состоянии системы, скорость движения не обращается в нуль и не меняет своего знака. Направление движения системы зависит от знака начальной скорости и сохраняется неизменным при всех а,

Рис. XIX.28. Фазовые траектории «полной» системы при и безынерционном объекте

Рис. XIX.29. Фазовые траектории системы при различных

В случаях, когда при , или система вначале двигается в сторону экстремума функции, при этом ее скорость по модулю убывает (в точках всегда ) и далее система неограниченно удаляется от экстремума. Если в начальный момент движение направлено в сторону удаления от экстремума функции, то оно неограниченно продолжается. Система не имеет точек равновесия и при любой сколь угодно малой величине неустойчива как при малых, так и при больших

Нами рассмотрена работа идеализированного регулятора. Обычно у регулятора имеется некоторая зона нечувствительности и, кроме низкочастотных возмущений, присутствуют высокочастотные помехи. При наличии у регулятора зоны нечувствительности в случаях, когда действие возмущения мало, уходов системы относительно экстремума функции может и не быть. При помехах, имеющих составляющую в виде чередующихся по знаку

импульсов, которые дают изменения большие текущего значения скорости, система приобретает способность приближаться к экстремуму функции и при

В самом деле, допустим, что при система двигалась в сторону удаления от экстремума функции и ее скорость изменялась по кривой (рис. XIX.30). Пусть через некоторое время при появляется импульс Тогда совершается переход на кривую система реверсируется и после прекращения действия импульса устанавливается ее движение уже в сторону приближения к экстремуму функции.

Затем, через время появляется импульс тогда совершается скачкообразный переход изображающей точки с кривой II снова на кривую в точке она пересекает ось абсцисс, устанавливается обратное движение и т. д.

Рис. XIX.30. Движение системы при периодическом реверсировании

Так как каждый раз удаление системы от экстремума происходит с меньшими скоростями, чем приближение к нему, например то при равных в среднем величинах изменения , соответствующие удалению от экстремума, будут меньше соответствующих приближению к экстремуму функции, поэтому после каждого описанного цикла преобразовывается в При длительном повторении циклов система как угодно близко приходит к экстремуму функции. Закономерность движения системы может быть определена методом точечных преобразований.

Вполне понятно, что указанное выше положительное действие помех в общем случае не может рассматриваться как надежное средство обеспечения устойчивости системы, так как помехи могут быть случайными, нестационарными и недостаточными по величине для реверсирования системы при значительных

Рассмотренное выше периодическое реверсирование системы, благодаря которому она приобретает устойчивость, может быть осуществлено принудительно — введением специального устройства. Таким образом, и в данном случае мы приходим к идее применения коммутатора, развитой применительно к другим системам экстремального регулирования, например в работе [6].