4. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВЫХОДНЫХ РЕАКЦИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ, ОСНОВАННАЯ НА ПРИМЕНЕНИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Ортогональные экспоненциальные функции определяются формулой

где - функция веса, а функция удовлетворяет соотношению

Преобразования Лапласа для функций имеют вид

Общее выражение для ортогональных экспоненциальных функций можно записать так:

Очевидно, они удовлетворяют условию

Подставляя в равенство (XVIII.18) зависимость (XVIII.23), получим

Но по условию задачи нам известно многомерное преобразование Лапласа для функции т. е.

Используя последнюю формулу, окончательно найдем алгоритм расчета элементов обобщенного (ортогонального) спектра функции в следующем виде:

где

— обобщенный многомерный момент порядка функции

Согласно формуле, вычисление элементов обобщенного спектра функции сводится к вычислению значения функции при действительных значениях аргументов или к вычислению ее обобщенных моментов, что представляет значительно более легкую задачу, чем вычисление ее значений в комплексном виде.

Выражению (XVIII. 17) можно придать форму интегро-интерполяционного многочлена в моментах. Это можно легко сделать, если в выражении (XVIII .17) произвести группировку обобщенных многомерных моментов с одинаковыми сложными индексами. В этом случае многомерная функция может быть охарактеризована ее обобщенными моментами, не прибегая к вычислению коэффициентов разложения (XVIII.27), хотя в этом случае необходимо заранее найти новую базовую систему функций линейно связанную с исходным базисом

На основе сказанного функция может быть представлена в виде

где — многочлены, удовлетворяющие условию:

Система связана с исходной системой следующими рекуррентными соотношениями:

где — коэффициенты многочлена (XVIII.23).

Итак, реакция нелинейной системы может быть записана в виде

Следовательно, для того чтобы найти выходную реакцию нелинейной системы автоматического регулирования на заданное входное воздействие, необходимо:

1) найти многомерные передаточные функции;

2) по формуле (XVIII.28) рассчитать многомерные обобщенные моменты каждой из составляющих выходной реакции суммы (XVIII.4);

3) используя зависимость (XVIII.27), найти элементы обобщенного спектра каждой из составляющих суммы (XVIII.4);

4) построить выходную реакцию с помощью выражения (XVIII.32).