§ 5. НЕЙТРАЛЬНЫЙ САМОЛЕТ С АВТОПИЛОТОМ БЕЗ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

В качестве примера применения изложенного метода рассмотрим систему автоматической стабилизации курса нейтрального самолета автопилотом без обратной связи. В этом случае серводвигатель включается релейным элементом. Движение такой системы определяется уравнениями

угол рысканья самолета;

— угол отклонения руля;

М — коэффициент аэродинамического демпфирования;

— эффективность руля;

— коэффициент инерции серводвигателя;

— коэффициенты регулирования по скорости и ускорению.

Параметры системы регулирования являются постоянными и положительными. Подставим в третье уравнение (XIV. определенное из первого, и приведем его к виду

Для рассматриваемой системы уравнений имеем

Присоединенная матрица получается так: сначала нужно транспонировать матрицу а затем на место каждого элемента поставить его алгебраическое дополнение (минор со знаком). Имеем

Корни характеристического полинома (XIV. 109) равны

Полином определяется формулой [см. соотношения (XIV.83)]

Далее легко образовать величины

Подставляя эти выражения в формулу (XIV. 101), получим уравнение периодов

которое представим в более симметричной форме

Обозначим левую часть уравнения периодов через Тогда из формулы (XIV.115) достаточно просто установить, что при малых значениях параметра 9

а при больших значениях

На плоскости параметров и М построим гиперболу

и прямую

Эти кривые разобьют плоскость первого квадранта на четыре области, как это показано на рис. XIV.4. Скобка, фигурирующая в выражении (XIV. 116), положительна в областях II, III и отрицательна в областях I, IV. Скобка, фигурирующая в выражении (XIV. 117), положительна в областях I, III и отрицательна в областях II, IV.

Теперь легко установить, что кривая периодов в четырех указанных областях будет иметь вид, приведенный на рис. XIV.5.

Рис. XIV. 4. Области периодических режимов

На рис. XIV.5 нанесена штриховой линией прямая параллельная оси абсцисс. Абсциссы точек пересечения этих кривых определяют при некоторых дополнительных условиях полупериоды периодических решений. Построим характеристические уравнения для определения устойчивости периодических решений с помощью критерия Гурвица. Из формул (XIV.103) и (XIV. 113) можно определить характеристические уравнения третьей степени в виде

Назовем точку пересечения кривой периодов с прямой восходящей, если первая пересекает вторую снизу вверх и, наоборот, нисходящей в противоположном случае.

По формуле (XIV.73) коэффициент равен половине тангенса угла наклона касательной к кривой периодов, взятому с обратным знаком. Учитывая это обстоятельство, легко установить, что в восходящих точках а в нисходящих, наоборот, Из последнего равенства (XIV. 121) следует, что коэффициент всегда меньше нуля.

Далее преобразуем предпоследнее равенство (XIV. 121) к виду

Тогда, имея в виду неравенство при устанавливаем, что коэффициент также всегда меньше нуля.

Рис. XIV. 5. Кривые периодов

В нисходящей точке коэффициенты характеристического уравнения имеют различные знаки: Периодический режим, соответствующий нисходящей точке, будет неустойчивым.

Для восходящей точки условия устойчивости можно представить в виде неравенств

Первые три неравенства (XIV. 123) выполняются. Поэтому устойчивость зависит от знака определителя, Гурвица

Преобразуем сначала формулу, определяющую коэффициент к виду

Эта формула получается из равенств (XIV.121), если правую часть второго равенства (XIV.121) умножить и разделить на и выполнить некоторые преобразования.

Учитывая формулу (XIV. 124), представим в виде

Далее, принимая во внимание последние два равенства (XIV. 121), приведем это выражение к виду

Отсюда следует, что в областях лежащих выше гиперболы (XIV. 118),

Таким образом в областях и III имеют место автоколебания. Причем в области III они являются следствием выбранной схемы автоматического регулирования, в области автоколебания возникают из-за наличия петли в характеристике релейного элемента. При уменьшении ширины петли период и амплитуда автоколебаний в области I уменьшаются. При автоколебания исчезают.

В области IV периодический режим, соответствующий восходящей точке, также является автоколебательным и он исчезает при Этот факт легко установить, если заметить, что при малых знак фигурной скобки в правой части равенств (XIV.126) будет совпадать со знаком

Итак, исходя из общих результатов, удается сравнительно просто установить возможное число периодических решений и исследовать устойчивость стационарных режимов, соответствующих этим условиям [1], [3].