2. НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В СЛУЧАЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ОБЪЕКТА

В случае действительных корней характеристического уравнения моменты переключения управляющего сигнала могут быть определены из системы уравнений, получаемой путем сшивания решений системы дифференциальных уравнений объекта [1]. Несколько меньше вычислений потребуется, если использовать вектор переходных функций объекта Преимущества этого метода особенно очевидны в случае, когда дифференциальные уравнения объекта неизвестны, а заданы лишь экспериментально снятые динамические характеристики.

Если система дифференциальных уравнений объекта

задана, то вектор переходных функций

является решением этой системы при нулевых начальных условиях и Тогда вектор удовлетворяет условиям

Решение системы (XVI.23) при условиях (XVI.24) может быть найдено с помощью применения преобразования Лапласа [5] в виде

где

— матрица, обратная матрице т. е.

Если корни характеристического уравнения системы (собственные числа матрицы А) различны и не обращаются в нуль, то решение системы (XVI.22) может быть записано в виде

здесь — матрица, составленная из собственных векторов матрицы А (т. е. — собственные числа матрицы А);

вектор, составленный из фундаментальных решений однородной системы, соответствующей (XVI.22) при

— диагональная матрица, элементы которой определяются из соотношений

где — вектор, составленный из диагональных элементов матрицы

Используя вектор переходных функций, можно записать выходные сигналы объекта после переключения управляющего сигнала в моменты

где — решение однородной системы при начальных условиях

— знак управляющего сигнала на первом интервале его постоянства.

В общем случае определяется с помощью матрицы составленной из фундаментальной системы решений однородного уравнения

В случае простых действительных корней характеристического уравнения уравнение (XVI.28) может быть записано в виде

где имеют те же значения, что и в уравнении (XVI.25), диагональная матрица, диагональные элементы которой определяются из соотношения

здесь вектор, составленный из диагональных элементов матрицы

В момент выходные сигналы объекта должны принять требуемые значения Отсюда получаем систему уравнений для определения неизвестных

или

Система уравнений (XVI.30) в случае действительных корней характеристического уравнения и выполнения условия общности положения позволяет найти единственные значения удовлетворяющие условию . В случае простых действительных корней характеристического уравнения, не равных нулю, в системе можно провести некоторые упрощения. Подставляя в уравнения (XVI.30) значения из выражения (XVI.26) и решения (XVI.29) и умножая полученное уравнение слева на получим

В случае кратных действительных полюсов может быть использован предельный переход в уравнениях (XVI.31). При этом необходимо образовать дополнительных уравнений, получаемых путем вычитания и деления на разность полюсов тех уравнений системы (XVI.30), которые при сближении полюсов также сближаются. Здесь под I понимается кратность полюса.

В случае наличия полюсов в начале координат уравнения (XVI.31) также могут быть использованы путем предельного перехода при стремлении некоторых постоянных времени Т и коэффициента передачи объекта к бесконечности. Но при этом должны сохраняться соотношения

и

где — кратность полюса в начале координат.

Таким образом, с помощью описанных приемов могут быть получены уравнения, позволяющие вычислить моменты переключения оптимального управляющего сигнала. Для случая, когда ненулевые корни характеристического уравнения являются

простыми, такие уравнения представлены в работе [1]. Очень часто начальное и конечное состояния являются установившимися, т. е.

В этом случае при наличии полюса в начале координат уравнения для моментов переключения могут быть записаны в виде [1]:

Система уравнений (XVI.33) справедлива для объекта, описываемого системой уравнений

при начальных условиях (XVI.32). В случае, когда система (XVI.33) может быть разрешена относительно моментов переключения [7], [9]:

Рис. XVI. 1. Оптимальное управление объектом с передаточной функцией

Если вычислено время переходного процесса

то моменты могут быть легко определены графически (рис. XVI. 1) путем деления на равных частей окружности, построенной на диаметре

Очень важное значение при расчете оптимального управления имеет выбор знака управляющего сигнала на первом интервале его постоянства. Если начальное и конечное состояния установившиеся, то . В общем случае

необходимо проведение двух расчетов с последующим сравнением времени переходных процессов в обоих случаях.

В процессе управления многими объектами измеряются не производные выходного сигнала, а некоторые промежуточные сигналы. Тогда для определения моментов переключения также можно пользоваться уравнениями (XVI.30), (XVI.31), произведя лишь некоторые линейные преобразования.