2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИОНАЛАМИ ВОЛЬТЕРРА

Рассмотрим некоторые свойства функционального представления нелинейных систем формой (XVII 1.3).

Сходимость функциональных рядов Вольтерра. Если для входного сигнала существует такая постоянная величина что для всех моментов времени выполняется неравенство

то функциональный ряд Вольтерра сходится, т. е.

где

и

При этом так как предполагается, что рассматриваемая система устойчива. Доказательство этого свойства является очевидным. Действительно, если учитывать выражение (XVII 1.5) становится справедливым неравенство

когда суммирование по всем приводит к неравенству (XVIII.6). Радиус сходимости рядов Вольтерра определяется формулой [1]

Сходимость в среднем функциональных рядов Вольтерра (стохастический случай). Предполагая, что стационарный случайный входной сигнал имеет ограниченные моменты любого порядка, можно показать, что достаточным условием сходимости в среднем и среднем квадратическом, т. е.

и

будет

Неравенство (XVIII. 11) при является вместе с тем и достаточным условием для сходимости суммы в среднем и среднеквадратическом.

Доказательства этих свойств достаточно просты [1], поэтому они здесь не приводятся.