ГЛАВА XVIII. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ ВОЛЬТЕРРА И ОРТОГОНАЛЬНЫХ СПЕКТРОВ
В этой главе излагаются методы исследования нелинейных систем, основанные на их описании при помощи функциональных рядов Вольтерра и последующего применения понятия обобщенных спектров. Эти методы применимы для рассматриваемого класса систем как при детерминированных, так и при случайных воздействиях. Они допускают как аналитическое задание исходных динамических характеристик, так и экспериментальное их определение.
Излагаемые методы приводят к алгоритмам анализа и синтеза, удобным для реализации на цифровых машинах.
1. ОПИСАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ ВОЛЬТЕРРА
Рассмотрим нелинейную систему, состоящую из линейной части с импульсной переходной функцией 
[см. рис. XVII. 1, а] и нелинейного безынерционного элемента с характеристикой вида:
которая может быть аппроксимирована полиномом:
В § 19 и 20 (см. гл. VII кн. 1) было показано, что 
на выходе системы определяется выражением
где 
— ядра нелинейной системы.
Функционалы вида (XVIII.3) называются функционалами типа Вольтерра. Первый член функционалов Вольтерра (не считая постоянной составляющей) характеризует линейную часть системы; второй — операцию возведения в квадрат сигнала 
на выходе линейной части системы; 
операцию возведения в 
степень сигнала 
Соотношение (XVII 1.3) показывает, что метод анализа нелинейных систем, использующий функционалы типа Вольтерра, является обобщением метода анализа линейных систем, основанного на интеграле свертки с одномерным ядром вида 
Решение задачи и анализа нелинейной системы автоматического регулирования, сводящейся к расчету выходной реакции 
на заданное входное воздействие 
производить непосредственно при помощи формулы (XVIII.3) представляет значительные трудности даже с помощью цифровых вычислительных машин.
Рис. XVIII. 1. Функциональное представление нелинейной системы автоматического регулирования
Практически удобнее вначале преобразовать выражение по Лапласу, вводя понятие многомерных передаточных функций.
Преобразуя по Лапласу зависимость (XVIII.3), получим выражение для выходного сигнала в виде
где 
— передаточные функции системы.
Из выражения (XVIII.4) следует, что эквивалентная схема рассматриваемой нелинейной системы может быть представлена в виде, изображенном на рис. XVIII. 
Согласно выражению (XVIII.4) анализ нелинейной системы состоит из двух этапов: определения преобразования Лапласа
сигнала на выходе и определения оригинала 
по известному изображению 
Основные трудности представляет собой последний этап, который сводится, как мы видим, к нахождению оригинала по его изображению.
При анализе замкнутой нелинейной системы следует иметь в виду, что она не может быть описана конечным числом ядер Вольтерра. Поэтому при переходе от разомкнутой системы к замкнутой, так как практически используется конечное число ядер Вольтерра, необходимо анализировать сходимость полученного решения, например по методике, изложенной в работе [1].
