4. ХАРАКТЕРИСТИКА РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Для практического определения условий существования вынужденных колебаний и автоколебаний удобно воспользоваться следующей геометрической интерпретацией.

Составим функцию

где

Эту функцию назовем характеристикой релейной систегуты. Задавая различные, значения , построим на комплексной плоскости (рис. XV.3) кривую Точка пересечения этой кривой с прямой расположенная в левой

полуплоскости, определяет частоту автоколебаний удовлетворяющую условиям

которые совпадают с условиями (XV. 13) и (XV. 14).

Для определения амплитуды и сдвига фаз внешне приложенных колебаний, при которых будут иметь место вынужденные колебания частоты нужно из точки на кривой соответствующей заданной частоте, провести окружность радиуса (рис. XV.4). Тогда углы, образованные радиусами этой окружности, проведенными в точках пересечения их с прямой (в левой полуплоскости), определяют сдвиг фаз искомых вынужденных колебаний частоты при данной амплитуде

Рис. XV.3. Характеристика релейной системы. К определению автоколебаний

Рис. XV.4. Характеристика релейной системы. К определению вынужденных колебаний

Из рис. XV.4 следует, что в этом случае выполняются условия

эквивалентные условиям (XV. 10) и (XV. 11).

Если отсутствует пересечение окружности радиуса с прямой в левой полуплоскости то, значит, отсутствуют искомые вынужденные колебания. Это может быть, если амплитуда внешнего гармонического колебания меньше некоторой величины хпэр, которую мы назовем пороговым значением. Пороговое значение определяется как радиус окружности, касающейся прямой если значение находится в левой полуплоскости или радиус окружности, пересекающей прямую в точке прохождения прямой через мнимую ось, если значение находится в правой полуплоскости

В релейной системе будут существовать вынужденные колебания, если амплитуда превышает пороговое значение, т. е.

Для тех частот внешнего воздействия, которые расположены на кривой в левой полуплоскости, при выполнении условия

существуют два периодических решения, которым соответствуют различные фазы и такие, что

При

существует одно значение фазы и, значит, одно периодическое решение. В том случае, когда значения расположены на кривой в верхней части полуплоскости фаза изменяет свой знак. Характеристика релейной системы полностью решает вопросы, связанные с существованием автоколебаний и вынужденных колебаний.

Рис. XV.5. Построение характеристики релейной системы по амплитуднофазовой частотной характеристике линейной части системы

Для построения характеристики релейной системы можно поступить следующим образом. Изобразим на комплексной плоскости амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы со знаком минус, т. е. и отметим на ней точки (рис. XV.5). Уменьшим ординаты соответствующие этим точкам в раз

Проводим к уменьшенным таким образом ординатам из начала координат векторы (рис. XV.5).

Геометрическая сумма этих векторов, умноженная на равна вектору характеристики релейной системы.

Можно также определить суммированием порознь абсцисс, уменьшенных указанным выше образом, и ординат Повторяя эти построения для других значений находим при любых значениях о).

Увеличивая масштаб этих значений в раз, найдем характеристику релейной системы Проведя прямую находим частоты автоколебаний, пороговые значения и сдвиг фаз вынужденных колебаний.