4. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ НА СЛУЧАЙ n-МЕРНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Статистическая аппроксимация нелинейных характеристик эквивалентным коэффициентом усиления или эквивалентной передаточной функцией позволяет отыскать первые два момента распределения случайного сигнала в нелинейной системе при условии, что функция плотности вероятности сигнала на входе нелинейного элемента близка к нормальной. Если оказывается необходимым находить более высокие моменты распределения и если при этом не соблюдается условие о нормальности распределения на входе нелинейного элемента, то можно использовать обобщенную статистически эквивалентную передаточную функцию, определяемую из отношения -мерной спектральной плотности

сигнала на выходе к -мерной спектральной плотности сигнала на входе нелинейного элемента

где — обобщенная эквивалентная передаточная функция.

Из формулы (XVI 1.55) видно, что для определения обобщенной эквивалентной передаточной функции необходимо знать спектральные плотности Будем считать, что спектральная плотность и соответствующая ей -мерная корреляционная функция известны. Определим спектральную плотность и корреляционную функцию случайного сигнала на выходе нелинейного элемента сначала при условии, что распределение сигнала является нормальным.

Для определения -мерной корреляционной функции будем использовать разложение сигнала на выходе нелинейного элемента по полиномам Чебышева — Эрмита вида

где коэффициенты вычисляются по формуле

где — полиномы Чебышева — Эрмита.

Коэффициенты имеют следующее соотношение с рассмотренными в § 3 коэффициентами

Поскольку общая формула для определения -мерной корреляционной функции

то необходима -мерная плотность вероятности Будем использовать для нее также разложение по полиномам Чебышева — Эрмита

В формуле корреляционные моменты между различными значениями Количество этих моментов будет равно числу сочетаний из по 2, т. е. равно показателю степени при и показателю степени при в разложении характеристической функции

Подставляя в формулу (XVI 1.59) выражения (XVI 1.56) и (XVI 1.60) и используя при этом свойство ортогональности полиномов Чебышева — Эрмита для корреляционной функции сигнала на выходе нелинейного элемента, получим

Соответственно спектральная плотность сигнала может быть определена из (XVI 1.62) следующим образом:

Итак, имея -мерную спектральную плотность сигнала на выходе нелинейного элемента при заданной спектральной плотности входного сигнала, можно определить обобщенную эквивалентную передаточную функцию (XVI 1.55).