4. ВЫРАЖЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ЧЕРЕЗ ИСХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СИСТЕМЫ

Характеристики периодических режимов выразим через исходные параметры системы двумя ступенями. Сначала определим переменные и параметры канонических уравнений через

соответствующие величины уравнений в нормальной форме, а затем уже перейдем к исходным параметрам системы.

Подставим в формулу (XIV.32) [см. выражения (XIV. 19), (XIV.23)] и умножим обе части равенства на тогда получим

где

Из первых строк матрицы К [см. формулу (XIV. 18)] образуем прямоугольную матрицу

В соответствии с уравнениями (XIV.2), (XIV.3) и соотношениями (XIV.6) имеем

Из соотношений (XIV.74) — (XIV.76) устанавливаем

Для столбца матрицы (XIV.75) и строки матрицы (XIV.20) введем специальные обозначения и т. е.

Представим матрицы в так называемой коагулированной форме

Если учесть выражения (XIV.34) и (XIV.79) и правило умножения матриц, то при равенство (XIV.77) можно представить в виде

При матричные уравнения (XIV.3) можно записать в виде одного уравнения

Найдем решение этого уравнения с помощью методов операционного исчисления [1].

Применяя к уравнению (XIV.81) преобразование Лапласа, при нулевых начальных условиях получим

Откуда

где — характеристический полином;

— присоединенная матрица для

Применяя вторую теорему разложения Хевисайда в матричной форме [4] для случая двойного нулевого корня, из равенства (XIV.83) получим

где

Из сравнения формул (XIV.80) и (XIV.84) устанавливаем матричные равенства

Из равенств (XIV.74) и (XIV.77) при имеем

Учитывая, что является матричным экспоненциалом

после дифференцирования по обеих частей равенства (XIV.88), получим

Формулы (XIV.88), (XIV.89) можно записать в виде единого матричного равенства

но так как

то из сравнений правых частей (XIV.87) и (XIV.90) будем иметь

Далее согласно формулам (XIV. 16) и (XIV.79) можно записать

Откуда получим

Обозначим столбец матрицы К через тогда из формул (XIV.79), (XIV.92), (XIV.94) легко установить следующие равенства:

Далее по формулам (XIV.23) найдем

При этом нетрудно установить, что

где и строка и столбец матрицы

Подставим в правую часть равенства (XIV.95а) столбцы из формул (XIV.95), тогда после умножения коагулированных матриц получим

Наконец, из формул (XIV.94а), (XIV.96) образуем выражения

Периодическое решение получается, когда конические переменные при удовлетворяют равенству (XIV.36). Из последнего на основании формул (XIV. 19), (XIV.23) легко установить, что начальные значения периодического решения в координатах должны удовлетворять равенству

Подставим из равенства (XIV.98) в уравнение (XIV.77). Тогда периодическое решение в координатах будет определяться равенством

Если представить матрицы по формулам (XIV.79) в виде коагулированной строки и столбца и подставить их равенство (XIV.99), а также учесть выражения (XIV.33), (XIV.34), (XIV.38), то после перемножения соответствующих матриц равенство (XIV.99) можно записать в виде

Это выражение определяет процесс периодических колебаний в интервале времени . С помощью формул уравнение периодов (XIV.44), условие переключения характеристическое уравнение для определения устойчивости (XIV.69) и периодическое решение на полупериоде достаточно просто выразить через исходные параметры системы. В этом случае будем иметь:

уравнение периодов

условие переключения

характеристическое уравнение степени для определения устойчивости по условиям Гурвица

процесс периодических колебаний на полупериоде

Формулы (XIV. 101) - (XIV. 104) справедливы, когда характеристический пблином исследуемой системы

дифференциальных уравнений имеет двойной нулевой корень а остальные корни простые. Пусть корни престые (один из них может быть равным нулю), тогда соответствующие характеристики периодического режима колебаний можно получить из формул (XIV. 101) — (XIV.104), если в них удержать симметричные члены, стоящие под знаком суммы и произведения, а суммирование вести от 0 до Характеристики периодических режимов колебаний приведены в замкнутой форме.

Для их использования необходимо знать корни характеристического полинома линейной части рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Линейная часть определяет движение разомкнутой системы регулирования. Во многих важных случаях разомкнутая система регулирования представляет собой - цепь из направленных звеньев. В этом случае характеристический полином линейной части представляется в виде произведения полиномов низких степеней, корни которых легко определяются.

Рассмотренные выше релейные системы регулирования являются автономными, так как параметры их уравнений движения не зависят явно от времени. Определение устойчивости периодических режимов сводится к исследованию расположения характеристических чисел специально построенной матрицы преобразования, так как характеристическое число заведомо удовлег творяет условиям устойчивости.

Процедура построения и анализа периодических режимов колебаний, изложенная выше, носит общий характер. Ее легко применить к другим видам релейных характеристик управляющего элемента. При наличии в релейной характеристике зоны нечувствительности (см. рис. XIII.2) в системе регулирования также могут возникать симметричные периодические режимы колебаний, если внешнее воздействие будет отсутствовать. Только нужно иметь в виду, что в этом случае полупериод будет содержать два слагаемых и . В промежутках времени управляющая функция будет принимать значения 1 и 0 соответственно. Величины будут определяться двумя уравнениями периодов.

При наличии постоянного внешнего воздействия, когда управляющая функция определяется графиком (рис. XIV.3), интересен тот случай, при котором система при не имеет статического положения равновесия, т. е. уравнения (XIV.4) не разрешимы.

Тогда уравновешивание внешнего воздействия будет происходить в динамическом режиме установившихся колебаний. Эти

колебания не обладают симметрией на полупериоде. Период их где характеризуют промежутки времени, при которых равна соответственно. Здесь следует различать два случая, которые зависят от того, будут ли корни характеристического уравнения разомкнутой системы отличны от нуля или среди них по крайней мере один равен нулю. Первый случай встречается при анализе некоторых типов вибрационных регуляторов. В процессе их исследования бывает интересным знать среднее значение координат за период одного полного колебания. Среднее значение можно в данном случае рассматривать как эквивалент остаточного статического отклонения в системе регулирования при постоянном внешнем возмущении. Во втором случае одно из уравнений периодов указывает на существующую пропорциональность между величиной постоянного воздействия и относительным избытком времени нахождения управляющего релейного элемента в одном из двух своих положений. Это свойство используется в различных системах регулирования для импульсной линеаризации выходных характеристик.

Рис. XIV. 3. Гистерезисная релейная характеристика при постоянном внешнем воздействии

Мы не будем приводить решение поставленных задач, так как подробные выкладки не могут добавить нового к развитому методу. В процессе выкладок можно было бы только показать, что методы матричного исчисления позволяют довести решение до конца и в этих более сложных случаях [1], [2].