6. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВЫХОДНЫХ РЕАКЦИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ, ОСНОВАННАЯ НА ПРИМЕНЕНИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ

Рассмотрим вопросы применения усеченных полиномов Чебышева, Якоби, Лежандра и др. для расчета выходных реакций нелинейных систем. Как и прежде, будем рассматривать задачу восстановления одной составляющей суммы.

Пусть известно многомерное преобразование Лапласа функции (XVIII.37)

Для того чтобы свести область определения функции необходимому интервалу, сделаем замену переменной Учитывая сказанное выше, выражение для многомерного преобразования Лапласа для функции запишется в виде

где

и

Теперь, как легко видеть, функция определена в области существования классических ортогональных многочленов.

Найдем функцию в виде ортогонального ряда:

где коэффициенты ортогонального разложения должны определяться по формуле

Для ортогональных систем имеем общую формулу

При этом можно записать:

(см. скан)

где

Для того чтобы придать методике более конкретный характер, воспользуемся некоторыми, наиболее известными, ортогональными системами функций:

а) полиномами Якоби

где

б) полиномами Лежандра, которые получаются из полиномов Якоби при

в) полиномами Чебышева первого рода:

г) полиномами Чебышева второго рода:

Элементы обобщенного спектра определяются согласно формуле из соотношений: для полиномов Якоби:

для полиномов Лежандра

для многочленов Чебышева первого рода

для многочленов Чебышева второго рода

Выше были рассмотрены случаи применения классических ортогональных систем, определенных на конечном интервале для нахождения оригинала При этом предполагалось, что изображение как функция многих комплексных аргументов вида

известна. Функция определяемая формулой (XVIII.53), часто неизвестна; в частном случае для ее можно найги, если известна функция при Обычно задается при

Анализ нелинейных систем с помощью указанного класса ортогональных систем можно произвести тем же способом, который уже использовался для анализа линейных систем [3], [8].

Введем в рассмотрение функцию многих переменных

Выражение многомерных моментов функции имеет вид

Используя свойство многомерного преобразования Лапласа, найдем

Из последней формулы видно, что моменты функции

где

— произвольная функция многих переменных, на которую наложено условие (XVIII. 15). Ее можно найти по известным данным, т. е.

Таким образом, непосредственно по многомерной передаточной функции нелинейной системы можно найти моменты функции

и, следовательно, найти функцию в виде

В этом случае искомая функция

Таблица XVIII.1 (см. скан)

Таблица XVIII.2 (см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Последняя формула может непосредственно применяться для расчета каждой составляющей суммы. Выходная же реакция находится суммированием всех составляющих процесса. Этапы расчета выходной реакции нелинейной системы автоматического регулирования, приведенные в § 3, остаются в силе и в этом случае.

Пример 1. Рассмотрим нелинейную систему, многомерные передаточные функции которой имеют вид

Найдем реакцию нелинейной системы на заданный входной сигнал в вид импульса. Многомерное преобразование Лапласа для выходного сигнал имеет вид

Для определения выходного процесса осуществим переход из комплексной области в действительную. Найдем коэффициенты при помощи формулы Значения их приведены в табл. XVIII. 1— XVIII.3. Результаты расчета выходной реакции приведены в табл. XVIII.4.