4. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ

Для компенсации малых ошибок в системах автоматического регулирования целесообразно использовать обратную связь. При этом необходимо искать управление не как функцию времени, а как функцию фазовых координат объекта, т. е. в виде

Управляющий сигнал переключается тогда, когда изменяет знак, поэтому поверхность называется поверхностью переключения.

В случае только действительных корней характеристического уравнения методика нахождения поверхности переключения основана на том, что управляющий сигнал имеет интервалов постоянства и состоит в сшивании решений системы дифференциальных уравнений объекта при возвратном движении из требуемого конечного состояния. При этом весь расчет целесообразно производить в фазовом пространстве без пересчета во временную область.

Для этого из уравнений объекта (XVI. 10) необходимо исключить время, преобразовав их предварительно к каноническому виду. В случае, когда все полюсы объекта различны, преобразованные уравнения записываются в виде

где — собственные числа матрицы А, соответствующие ее собственным векторам

Векторы получаются из вектора состояния объекта и вектора с помощью линейных преобоазований

где — матрица, составленная из собственных векторов

Исключая из уравнений (XVI.37) время, получим систему уравнений, описывающих траектории движения изображающей точки объекта в фазовом пространстве:

Решения системы (XVI.39) записываются в виде

Постоянные интегрирования определяются из соотношений

Здесь в качестве значений фазовых координат следует брать их начальные (или конечные) значения для каждого участка постоянства . Например, на последнем интервале постоянства и уравнение (XVI.40) может быть записано в виде

Конечные условия определяются из конечных условий с помощью преобразований (XVI.38). Управляющий сигнал на последнем интервале постоянства выражается через управляющий сигнал в момент начала управления с помощью соотношения

Таким образом, в момент переключения управляющего сигнала] получим

Используя значения координат объекта в момент переключения можно найти значения координат объекта в момент переключения:

Аналогично записываются соотношения для значений координат объекта в остальные моменты переключения управляющего сигнала

Система уравнений (XVI.41) — (XVI.44) позволяет найти уравнение поверхности переключения путем исключения промежуточных координат Действительно, общее число уравнений в этой системе равно а число исключаемых переменных составляет Из системы уравнений можно выразить исключаемые переменные через значения координат в первый момент переключения, требуемые конечные значения и параметры объекта. При этом остается еще одно уравнение, подставляя в которое полученные выражения относительно получим соотношение, связывающее координаты , а также требуемые конечные значения

Точки фазового пространства, принадлежащие поверхности переключения, удовлетворяют полученному соотношению (XVI.45). Однако этому же соотношению удовлетворяют и некоторые другие точки фазового пространства. Исключение неоднозначности соотношения, определяющего поверхность переключения, возможно путем определения знака управляющего сигнала на поверхности переключения.

Определение знака управляющего сигнала производится последовательно, начиная с последнего момента переключения. Так как из точки фазового пространства, соответствующей переключению, конечная точка достигается за один интервал постоянства управляющего сигнала, то знак следует выбрать таким, чтобы обеспечить прохождение через требуемое конечное значение одной координаты объекта (например, При этом

Подставляя в систему (XVI.41) при получим линию переключения для координат когда движение начинается из состояния, соответствующего моменту переключения. По расположению точки относительно этой линии переключения может быть определен управляющий сигнал в момент переключения в зависимости от состояния объекта в этот момент времени:

Исключая из системы (XVI.41), (XVI.42) при координаты и подставляя получим поверхность переключения для координат когда движение начинается из состояния, соответствующего моменту переключения. По расположению точки относительно этой поверхности переключения может быть определен управляющий сигнал в момент переключения в зависимости от состояния объекта в этот момент времени:

Исключая из системы (XVI.40)-(XVI.42) при координаты при можно получить поверхность переключения, с помощью которой определяется и т. д. Аналогичные вычисления производятся до тех пор, пока будет найдена поверхность переключения относительно координат при движении из начального состояния, соответствующего первому моменту переключения:

По расположению изображающей точки объекта в момент первого переключения относительно этой поверхности переключения определяется знак управляющего сигнала в первый момент переключения

Зависимость (XVI.45) дает искомое распределение знака управляющего сигнала на поверхности переключения. Подставляя в найденное ранее уравнение (XVI.45), получим

уравнение поверхности переключения объекта, однозначно определяющее управляющий сигнал

Изложенная методика нахождения поверхности переключения остается справедливой при наличии нулевых и кратных действительных корней характеристического уравнения, а также может быть использована для нахождения части поверхности, расположенной вблизи конечной точки, при комплексных корнях характеристического уравнения.

Рис. XVI.2. Пример выбора переменных состояния в случае объекта с нулевыми, кратными и комплексными полюсами

В этих случаях отдельные уравнения систем (XVI.40)-(XVI.41) и (XVI.43) изменяют свой вид и поэтому большое значение имеет правильное обозначение переменных состояния объекта. Это следует делать, например так, как показано на рис. XVI.2.

Пример 1. Рассмотрим нахождение поверхности переключения для объекта, описываемого уравнениями

Таким уравнением может быть описано изменение угла курса нейтрального самолета с пренебрежимо малым собственным демпфированием [12].

Здесь — относительное изменение угла курса;

— относительная скорость изменения угла курса;

— относительное изменение угла поворота руля, управляемого с помощью гидропривода;

— относительное изменение положения золотника гидропривода.

Исключая из уравнений (XVI. 48) время, получим дифференциальные уравнения для фазовых траекторий объекта:

Решения этих уравнений записываются в виде

где — координаты точки в фазовом пространстве, через которую проходит фазовая траектория (XVI. 50); — значение управляющего сигнала на данном интервале его постоянства.

В случае, когда требуемое конечное состояние установившееся, уравнения фазовых траекторий на последнем интервале постоянства и имеют вид

где — управляющий сигнал на первом интервале постоянства. На втором интервале постоянства и фазовые траектории проходят через точку

Подставляя из уравнений (XVI. 51) и (XVI. 52) в уравнения (XVI. 53) и (XVI. 54), получим

Из уравнения (XVI. 55) находим

Подставляя в уравнение (XVI. 56), получим уравнение, которому удовлетворяет поверхность переключения

вычисляются путем определения значений управляющего сигнала на третьем и втором интервалах постоянства в зависимости от расположения изображающей точки

Учитывая, что и подставляя это значение в уравнение (XVI.51), получим уравнение линии переключения для координат при движении объекта из состояния, соответствующего первому моменту переключения:

Управляющий сигнал определяется по положению точки относительно линии (XVI.59)

Подставляя в уравнение (XVI.57), получим уравнение, однозначно определяющее поверхность переключения

где

Управляющий сигнал в любой момент времени выбирается в зависимости от положения изображающей точки объекта относительно поверхности переключения:

где

Закон управления (XVI.61) обеспечивает оптимальные переходные процессы в заданное установившееся состояние из любого начального состояния. Несмотря на то, что в течение второго и третьего интервалов постоянства и изображающая точка должна двигаться по поверхности переключения (XVI.60), в действительности этого не происходит и изображающая точка движется вдоль поверхности переключения, пересекая ее и переходя на другую сторону только в момент, соответствующий второму переключению (т. е. когда изменяет знак).

Таким образом, в течение второго интервала постоянства и выполняется соотношение

где — малая положительная величина, определяемая неидеальностью схемы управления.

В результате имеем .

На третьем интервале постоянства вследствие неидеальности схемы управления выполняется равенство и управляющий сигнал определяется фактически из выражения

что соответствует соотношению (XVI.57). Таким образом, благодаря наличию неидеальностей системы управления (задержка или гистерезис реле и др.) закон переключения в момент можно не реализовывать. Достаточно реализовать закон переключения в момент При этом и остальные переключения образуются с помощью выражения (XVI.61).

Пример 2. Рассмотрим объект, описываемый уравнениями

и определим части поверхности переключения, расположенной вблизи от конечной точки, в случае комплексных корней характеристического уравнения. Исключая время, получим дифференциальное уравнение для фазовых траекторий объекта:

Решениями этого уравнения являются окружности

Рис. XVI.3. Часть линии переключения, расположенная вблизи конечной точки (объект с мнимыми полюсами)

Фазовые траектории, проходящие через конечную точку имеют При этом управляющий сигнал на последнем интервале постоянства (при правильно выбранных моментах переключения) зависит от знака

С учетом этого уравнение части линии переключения, лежащей вблизи конечной точки, записывается в виде

Графическое изображение этой линии представлено на рис. XVI.3.

Для определения управляющего сигнала необходимо уравнение (XVI.64) разрешить относительно

Учитывая уравнение (XVI.63) и производя простейшие преобразования, получим

Управляющий сигнал выбирается по расположению изображающей точки относительно линии переключения

Закон управления (XVI.66) всегда оптимален в круге

Следует заметить, что при отсутствии внешних возмущений изображающая точка не может выйти за пределы круга (XVI.67), если только управляющий сигнал вырабатывается по закону (XVI.66). Кроме того, за пределами круга (XVI.67) система никогда не может находиться в установившемся

состоянии. Поэтому можно считать, что при отсутствии возмущений закон управления (XVI.66) справедлив почти всегда.

Однако при наличии сильных возмущений в объекте могут возникнуть колебания вне круга (XVI.67). В этих случаях управляющий сигнал следует вырабатывать с помощью всей линии переключения, а не только ее части (XVI.65).

Рис. XVI.4. Фазовые траектории длительностью в полпериода собственных колебаний (объект с мнимыми полюсами)

Рис. XVI.5. Построение участков линии переключения

Для нахождения остальных участков линии переключения следует воспользоваться следствием принципа максимума (XVI. 13). С учетом уравнений (XVI.62) соотношение (XVI.13) может быть записано в виде

определяется из системы:

откуда ,

где — произвольные постоянные.

Таким образом,

и интервалы постоянства управляющего сигнала (за исключением может быть первого и последнего) имеют длительность, равную половине периода собственных колебаний объекта. При этом фазовые траектории объекта между отдельными переключениями имеют вид полуокружностей (рис. XVI.4). Если в качестве конечных точек взять точки на линии (XVI.65) (точки , рис. XVI.5) и проводить из этих точек фазовые траектории, по которым изображающая точка движется половину периода собственных колебаний объекта, то начала этих траекторий (точки опишут новые участки линии переключения (рис. XVI.5).

Рис. XVI.6. Линия переключения объекта с мнимыми полюсами

Производя аналогичные операции с полученными таким образом участками линии переключения, получим всю линию переключения, представленную на рис. XVI.6.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Следует отметить, что при переключение управляющего сигнала по закону где зависимость представлена на рис. XVI.7, вызывает потери в быстродействии, не превышающие от времени оптимального переходного процесса, поэтому реализация более сложного закона, представленная на рис. XVI.6, становится нецелесообразной.

Рис. XVI.7. Упрощенная линия переключения

Поверхности переключения управляющего сигнала могут быть получены с помощью уравнений для моментов переключения, представленных в § 2. В этих уравнениях следует считать начальные значения координат объекта равными их текущим значениям, а момент первого переключения равным нулю Исключая из преобразованных таким образом уравнений моменты остальных переключений и время переходного процесса (при учете условия получим уравнение, определяющее поверхность переключения. Однако при этом встает трудность при определении знака управляющего сигнала в начальный момент времени и поэтому метод попятного движения является более предпочтительным. В табл. XVI. 1 представлены поверхности переключения для некоторых объектов второго и третьего порядков, полученные с помощью метода возвратного движения.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)