8. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛИНОМОВ ЛЯГЕРРА И ЭРМИТА ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ (МЕТОД ВИНЕРА)
Пусть шум с нормальным распределением и постоянным уровнем спектральной плотности 
подается одновременно на вход исследуемой устойчивой нелинейной системы со схемой, представляющей собою параллельное соединение фильтров Лягерра. На выходе схемы Лягерра полечим коэффициенты 
ортонормированного разложения Лягерра нормально распределенного шума
Эти коэффициенты статистически независимый их плотность распределения вероятности нормальна:
Выходная величина нелинейной системы 
представляет собой функцию предыдущих значений входной величины 
Выражая 
через коэффициенты Лягерра для 
получим
В формуле (XVIII.65) 
является функцией переменных 
которые могут быть распределены на всем интервале 
Согласно уравнению
функцию X можно выразить рядом Эрмита для многих переменных
Из формулы (XVIII.67) видно, что для определения 
или при заданном 
для определения нелинейной системы, необходимо знать коэффициенты 
.
Примем следующую схему для их определения (рис. XVIII.4). Теперь выведем рабочую формулу [5], необходимую при исследовании нелинейных систем. Для этой цели умножим уравнение (XVIII.67) на
и усредняя его на всем интервале 
получим 
Для получения высокой точности требуется, чтобы в уравнении 
Этот предел в выражении (XVIII.69) для краткости опущен.
В соответствии с принципом эргодичности усреднение по времени, примененное в правой части уравнения (XVIII.69), может быть заменено усреднением по множеству.
Рис. XVIII.4, Блок-схема определения динамических характеристик нелинейных объектов автоматического регулирования по методу Винера
С учетом выражения (XVIII.64) уравнение (XVIII.69) примет вид
Вследствие ортогональности полиномов Эрмита интегралы в правой части уравнения 
равны единице, если индексы 
Тогда уравнение (XVIII.70) примет вид
Таким образом, для определения множества коэффициентов 
ряда Эрмита, определяющих коэффициенты Лягерра для нормального шума 
необходимо реализовать при помощи вычислительного устройства левую часть уравнения (XVIII.71).
Функциональная схема такого вычислительного устройства приведена на рис. XVIII.4.
Используя часть схемы 1, приведенную на рис. XVIII.4, можно синтезировать систему, обеспечивающую требуемый сигнал 
при воздействии в виде «белого» шума.
Можно показать [1], что аналитическое исследование нелинейных систем с помощью функциональных степенных рядов типа Вольтерра эквивалентен анализу нелинейных систем по экспериментальным данным, когда математическое описание объекта регулирования неизвестно.
Метод Винера соответствует случаю, когда в качестве ортогонального базиса при разложении ядер нелинейной системы используются полиномы Лягерра.
