Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ РАЗНОСТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИПостановка задачи. Устойчивость по Ляпунову. При исследовании периодических режимов колебаний в релейных системах регулирования возникает задача об определении устойчивости стационарного движения, когда в возмущенном движении известны состояния системы в дискретные равноотстоящие друг от друга моменты времени. Эта задача тесно связана с изучением свойств решений уравнений в конечных разностях. Пусть отклонение некоторой физической системы от стационарного состояния движения или равновесия определяется
Здесь нижний индекс буквы х указывает номер координаты, а верхний индекс определяет дискретный момент времени. Относительно функций Систему уравнений (XIV.127) геометрически можно трактовать как точечное преобразование фазового пространства системы. Точка с координатами
Теперь для рассматриваемых систем можно сформулировать определение устойчивости по Ляпунову. Если для всякой произвольно задаваемой а-окружности, как бы она ни была мала, может быть выбрана такая Х-окрестность, чтобы фазовая точка при любом движении, начинаемом из этой окрестности, не вышла за пределы первой окрестности при любом дискретном моменте времени
Решение вопроса об устойчивости дается естественным распространением теорем основного метода Ляпунова на рассматриваемый случай. Основные теоремы Ляпунова об устойчивости применительно к разностным уравнениям. Рассмотрим вещественную функцию Функция V считается знакопостоянной положительной, если в любой точке указанной окрестности Будем далее говорить, что первая разность Теорема об устойчивости. Если разностные уравнения (XIV. 127) возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию V, первая разность которой ввиду этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного знака или тождественно равна нулю, то стационарное состояние движения или равновесия устойчиво. Пусть V будет знакоопределенной положительной, а ее первая разность
знакопостоянной отрицательной. Отсюда суммированием получим
Из-за того, что 0, будем иметь
Выберем произвольно малую
Число Далее, ввиду непрерывности функции V и того факта, что она исчезает при
Если начало движения совпадает с любой точкой Х-окрестности, то согласно условию (XIV. 133)
Из соотношений (XIV. 132), (XIV. 134) вытекает неравенство
справедливое для любого дискретного момента времени Дополнение об асимптотической устойчивости. Если разностные уравнения (XIV. 127) возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию У, первая разность которой ввиду этих уравнений была бы функцией знакоопределенной противоположного знака, то всякое возмущенное движение, достаточно близкое к нецозмущенному состоянию, будет приближаться к нему асимптотически. Кроме того, имеют место две теоремы Ляпунова о неустойчивости. Теорема 1. Если разностные уравнения (XIV. 127) возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, которая обладала бы ввиду этих уравнений знакоопределенной первой разностью и была бы такова, что при надлежащем выборе величин Теорема 2. Если разностные уравнения (XIV. 127) возмущенного движения таковы, что можно найти ограниченную функцию У, то первая разность этой функции приводилась бы к форме
где X — положительная величина;
При этом найденная функция V такова, что надлежащим выбором величин Доказательства этих предложений легко провести самому читателю, следуя соответствующим рассуждениям Ляпунова [7] с теми изменениями, которые теперь ясны из хода доказательства первой теоремы. Об устойчивости движения, определяемого линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами. Рассмотрим систему линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, которую в матричной форме запишем в виде
где Р — квадратная матрица Исследуем вопрос об устойчивости с двух точек зрения. Применяя последовательно преобразование (XIV. 136) с начального значения
где
Рассмотрим для простоты рассуждений случай, когда корни
Из формул (XIV.138), (XIV.139) заключаем, что стационарное состояние будет устойчиво и притом асимптотически при Проведем исследование устойчивости с помощью построения функции V основного метода Ляпунова. Функцию V будем искать в виде квадратичной формы
которая из-за уравнения
где
представляет какую угодно определенно отрицательную форму переменных
где А и В — симметричные матрицы х — столбец переменных Подставим
тогда получим уравнение
Так как это уравнение должно удовлетворяться для любых значений
Всякая симметричная матрица Определим условия разрешимости уравнения (XIV. 144). Подставим в уравнение (XIV.144)
Замечая, что
Введем обозначение для симметричных матриц
и перепишем окончательно уравнение (XIV.146) в виде
Рассмотрим теперь случай, когда все корни
Учитывая формулу (XIV. 149), легко установить, что матричное уравнение (XIV.148) равносильно
где Отсюда достаточно просто установить следующее положение: если корни
то всегда можно построить и при том единственным образом такую квадратичную форму V переменных Если, кроме того, квадратичная форма V определенно положительная, т. е., согласно критерию Сильвестра, ее коэффициенты удовлетворяют неравенствам
то V будет являться функцией Ляпунова, а неравенства (XIV. 152) достаточным условием асимптотической устойчивости стационарного состояния Однако в данном случае полученные условия устойчивости в виде неравенств (XIV. 152) являются также необходимыми. Действительно, если стационарное состояние устойчиво, то, как мы уже знаем, все корни X по модулю меньше единицы и ни одно из уравнений (XIV. 151) не удовлетворяется. Поэтому квадратичная форма V [см. (XIV. 140)], разрешающая ввиду соотношения (XIV.136) разностное уравнение (XIV.141), существует. Тогда для всякого решения уравнения Об устойчивости по первому приближению. Пусть разностные уравнения возмущенного движения в матричной форме имеют вид
где дополнительно введено обозначение
причем которые начинаются с членов не ниже второго порядка относительно этих переменных. Теорема 3. Если модули всех корней Согласно условиям теоремы и положениям предыдущего пункта для уравнения первого приближения, которым является уравнение (XIV. 136), всегда можно построить функцию V в виде квадратичной формы (XIV.140), разрешающей разностное уравнение (XIV. 141). Для найденной таким образом функции V построим первую разность
Так как функции Точно также можно доказать, что, если среди корней X характеристического уравнения матрицы Р найдется, по меньшей мере, один с модулем больше единицы, то стационарное состояние будет неустойчиво независимо от членов выше первого порядка малости О вынужденных колебаниях релейных систем. Определенный интерес представляют вынужденные колебания релейных систем. В этом случае можно уравнение (XIV.25) записать в двух формах:
и
где
В релейной системе могут существовать несколько форм вынужденных колебаний, причем каждая из них зависит от предыстории ее движения (от начальных условий). С математической точки зрения определение вынужденных колебаний соответствует нахождению периодических колебаний и анализу их устойчивости. ЛИТЕРАТУРА(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|