6. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ РАЗНОСТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Постановка задачи. Устойчивость по Ляпунову. При исследовании периодических режимов колебаний в релейных системах регулирования возникает задача об определении устойчивости стационарного движения, когда в возмущенном движении известны состояния системы в дискретные равноотстоящие друг от друга моменты времени. Эта задача тесно связана с изучением свойств решений уравнений в конечных разностях. Пусть отклонение некоторой физической системы от стационарного состояния движения или равновесия определяется независимыми вещественными переменными Стационарное состояние определяется равенствами Изменение координат, под которым будем понимать возмущенное движение, пусть определяется системой разностных уравнений в нормальной форме

Здесь нижний индекс буквы х указывает номер координаты, а верхний индекс определяет дискретный момент времени.

Относительно функций будем предполагать, что они непрерывны, однозначны и обращаются в нуль, когда переменные все суть нули.

Систему уравнений (XIV.127) геометрически можно трактовать как точечное преобразование фазового пространства системы. Точка с координатами является неподвижной или инвариантной точкой данного преобразования. Будем считать, что других неподвижных точек оно не имеет. Назовем — окрестностью неподвижной точки часть фазового пространства, координаты которого удовлетворяют неравенству

Теперь для рассматриваемых систем можно сформулировать определение устойчивости по Ляпунову.

Если для всякой произвольно задаваемой а-окружности, как бы она ни была мала, может быть выбрана такая Х-окрестность, чтобы фазовая точка при любом движении, начинаемом из этой окрестности, не вышла за пределы первой окрестности при любом дискретном моменте времени то стационарное состояние устойчиво, в противном случае — неустойчиво и устойчиво асимптотически, если дополнительно имеет место предельное равенство

Решение вопроса об устойчивости дается естественным распространением теорем основного метода Ляпунова на рассматриваемый случай.

Основные теоремы Ляпунова об устойчивости применительно к разностным уравнениям. Рассмотрим вещественную функцию относительно которой будем предполагать, что внутри -окрестности одна однозначна, непрерывна и равна нулю при

Функция V считается знакопостоянной положительной, если в любой точке указанной окрестности и знакоопределенной положительной, когда во всех точках, отличных от При обратных неравенствах говорят об отрицательных функциях.

Будем далее говорить, что первая разность этой функции взята ввиду разностных уравнений (XIV. 127), если в леременные выражены через с помощью указанных уравнений.

Теорема об устойчивости. Если разностные уравнения (XIV. 127) возмущенного движения таковы, что можно найти

знакоопределенную функцию V, первая разность которой ввиду этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного знака или тождественно равна нулю, то стационарное состояние движения или равновесия устойчиво.

Пусть V будет знакоопределенной положительной, а ее первая разность

знакопостоянной отрицательной.

Отсюда суммированием получим

Из-за того, что 0, будем иметь

Выберем произвольно малую -окрестность Пусть — точная низшая граница функции V на сфере

Число существует, оно отлично от нуля и положительно в силу непрерывности и определенно положительности функции V.

Далее, ввиду непрерывности функции V и того факта, что она исчезает при существует такая Х-окрест-ность, внутри которой

Если начало движения совпадает с любой точкой Х-окрестности, то согласно условию (XIV. 133) будет удовлетворять неравенству

Из соотношений (XIV. 132), (XIV. 134) вытекает неравенство

справедливое для любого дискретного момента времени Из последнего неравенства следует, что в процессе движения фазовая траектория не выйдет за пределы -окрестности, так как в противном случае функция V должна пройти или достичь значения что невозможно.

Дополнение об асимптотической устойчивости. Если разностные уравнения (XIV. 127) возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию У, первая разность которой ввиду этих уравнений была бы функцией знакоопределенной противоположного знака, то всякое возмущенное движение, достаточно близкое к нецозмущенному состоянию, будет

приближаться к нему асимптотически. Кроме того, имеют место две теоремы Ляпунова о неустойчивости.

Теорема 1. Если разностные уравнения (XIV. 127) возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, которая обладала бы ввиду этих уравнений знакоопределенной первой разностью и была бы такова, что при надлежащем выборе величин численно сколь угодно малых, ее можно было бы сделать величиной одинакового знака с ее первой разностью, то невозмущенное состояние неустойчиво.

Теорема 2. Если разностные уравнения (XIV. 127) возмущенного движения таковы, что можно найти ограниченную функцию У, то первая разность этой функции приводилась бы к форме

где X — положительная величина;

— функция тождественно равна нулю или представляет некоторую знакопостоянную функцию.

При этом найденная функция V такова, что надлежащим выбором величин сколь угодно численно малых, ее можно сделать величиной одинакового знака с то невозмущенное состояние неустойчиво.

Доказательства этих предложений легко провести самому читателю, следуя соответствующим рассуждениям Ляпунова [7] с теми изменениями, которые теперь ясны из хода доказательства первой теоремы.

Об устойчивости движения, определяемого линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами. Рассмотрим систему линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, которую в матричной форме запишем в виде

где Р — квадратная матрица порядка постоянных — матрица-столбец переменных (индекс, поставленный сверху буквы указывает на дискретный момент времени).

Исследуем вопрос об устойчивости с двух точек зрения.

Применяя последовательно преобразование (XIV. 136) с начального значения получим

где представляет собой степень матрицы Р. Так как матрицу Р можно выразить через каноническую матрицу в виде уравнения (XIV.24) то будем иметь , следовательно,

Рассмотрим для простоты рассуждений случай, когда корни характеристического уравнения матрицы Р простые, тогда будем иметь

Из формул (XIV.138), (XIV.139) заключаем, что стационарное состояние будет устойчиво и притом асимптотически при для если хотя бы один из корней по модулю больше единицы, то стационарное состояние будет неустойчиво.

Проведем исследование устойчивости с помощью построения функции V основного метода Ляпунова. Функцию V будем искать в виде квадратичной формы

которая из-за уравнения должна разрешать разностное уравнение

где

представляет какую угодно определенно отрицательную форму переменных . В матричной записи эти квадратичные формы представляются в виде

где А и В — симметричные матрицы порядка коэффициентов и ;

х — столбец переменных — строка тех же переменных.

Подставим и V из соотношений (XIV. 143) в разностное уравнение (XIV. 141), после чего подставим

тогда получим уравнение

Так как это уравнение должно удовлетворяться для любых значений , а матрица является симметричной, то, очевидно, должно иметь место матричное равенство

Всякая симметричная матрица порядка имеет различных элементов. Поэтому матричное уравнение (XIV. 144) равносильно системе линейных алгебраических уравнений для определения такого же числа неизвестных коэффициентов искомой квадратичной формы V.

Определим условия разрешимости уравнения (XIV. 144). Подставим в уравнение (XIV.144) тогда найдем

Замечая, что и умножая обе части равенства (XIV. 145) слева и справа на матрицы и К соответственно, получим

Введем обозначение для симметричных матриц

и перепишем окончательно уравнение (XIV.146) в виде

Рассмотрим теперь случай, когда все корни простые, тогда имеем

Учитывая формулу (XIV. 149), легко установить, что матричное уравнение (XIV.148) равносильно скалярным уравнениям вида

где — элементы симметричных матриц А и В.

Отсюда достаточно просто установить следующее положение: если корни характеристического уравнения матрицы преобразования Р не удовлетворяют ни одному из соотношений

то всегда можно построить и при том единственным образом такую квадратичную форму V переменных которая ввиду уравнений (XIV.136) разрешает разностное уравнение (XIV. 141) при заданной определенно отрицательной квадратичной форме

Если, кроме того, квадратичная форма V определенно положительная, т. е., согласно критерию Сильвестра, ее коэффициенты удовлетворяют неравенствам

то V будет являться функцией Ляпунова, а неравенства (XIV. 152) достаточным условием асимптотической устойчивости стационарного состояния движения или равновесия рассматриваемой системы.

Однако в данном случае полученные условия устойчивости в виде неравенств (XIV. 152) являются также необходимыми. Действительно, если стационарное состояние устойчиво, то, как мы уже знаем, все корни X по модулю меньше единицы и ни одно из уравнений (XIV. 151) не удовлетворяется. Поэтому квадратичная форма V [см. (XIV. 140)], разрешающая ввиду соотношения (XIV.136) разностное уравнение (XIV.141), существует. Тогда для всякого решения уравнения отличного от квадратичная форма V, разрешающая уравнение (XIV.141), является монотонно убывающей функцией дискретного времени и вместе с указанным решением уравнения (XIV.136) она стремится к нулю при беспредельном возрастании . Оба эти факта могут быть совместимы только в том случае, если V является определенно положительной формой переменных Поэтому наше утверждение об устойчивости движения доказано.

Об устойчивости по первому приближению. Пусть разностные уравнения возмущенного движения в матричной форме имеют вид

где дополнительно введено обозначение

причем являются функциями переменных представляемых в виде абсолютно сходящихся рядов,

которые начинаются с членов не ниже второго порядка относительно этих переменных.

Теорема 3. Если модули всех корней характеристического уравнения первого приближения меньше единицы, то стационарное состояние асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости в рядах

Согласно условиям теоремы и положениям предыдущего пункта для уравнения первого приближения, которым является уравнение (XIV. 136), всегда можно построить функцию V в виде квадратичной формы (XIV.140), разрешающей разностное уравнение (XIV. 141). Для найденной таким образом функции V построим первую разность ввиду уравнений (XIV.153). Тогда будем иметь

Так как функции представляются в виде рядов, содержащих члены не ниже второго порядка, то в правой части равенства (XIV. 155) три последних слагаемых можно представить в виде сходящегося ряда, который будет начинаться с членов не ниже третьего порядка относительно переменных . В этом случае, очевидно, при достаточно малых правая часть равенства (XIV.155) будет иметь знак первого члена. Таким образом первая разность будет определенно отрицательной. Поэтому ввиду общих теорем стационарное состояние будет асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова независимо от членов выше первого порядка малости в рядах X.

Точно также можно доказать, что, если среди корней X характеристического уравнения матрицы Р найдется, по меньшей мере, один с модулем больше единицы, то стационарное состояние будет неустойчиво независимо от членов выше первого порядка малости Основные теоремы прямого метода Ляпунова легко распространяются на решения разностных уравнений (XIV.127) и они обосновывают возможность исследования устойчивости по первому приближению. В частности, это обстоятельство доказывает правомерность приема исследования устойчивости периодических режимов по первому приближению, примененного в данной главе.

О вынужденных колебаниях релейных систем. Определенный интерес представляют вынужденные колебания релейных систем. В этом случае можно уравнение (XIV.25) записать в двух формах:

и

где и столбцы постоянных;

— скалярные величины, определяющие амплитуду, круговую частоту и начальную фазу гармонического воздействия и гармонического возмущения. В релейных системах, уравнения движения в которых описываются выражениями (XIV.156) и (XIV.157), могут возникать вынужденные режимы периодических колебаний. В отличие от линейного случая эти колебания могут происходить как с частотой со внешнего гармонического воздействия или возмущения, так и с частотами, являющимися целыми долями частоты (т. е. и т. д.). Появляющиеся колебания называются субгармоническими колебаниями второго рода, третьего рода и т. д.

В релейной системе могут существовать несколько форм вынужденных колебаний, причем каждая из них зависит от предыстории ее движения (от начальных условий). С математической точки зрения определение вынужденных колебаний соответствует нахождению периодических колебаний и анализу их устойчивости.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)