1.6.2 НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА, ПОСТРОЕННЫЕ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ

Здесь можно различать две точки зрения. Первая состоит в использовании множества неточных данных, которые можно моделировать распределением частот, относящихся к вложенным событиям. Вторая заключается в аппроксимации распределения вероятностей, построенного по гистограмме, распределением возможностей так, чтобы значения вероятностей событий с двух сторон приближались степенями возможности и необходимости.

Статистики, относящиеся к неточным результатам опытов. Построение гистограммы всегда происходит в предположении, что результат случайной выборки достаточно точен. Эта гипотеза не всегда справедлива: измерения чаще всего дают интервалы ошибки; экспертные опросы также дают неточные ответы. Ниже показано, как на базе такой неточной статистической информации можно построить меру возможности вместо вероятностной меры, когда имеющиеся данные согласуются между собой.

Предположим, что данные образуют семейство подмножеств Вообще говоря, в случае неточности данных желательно, чтобы они были хотя бы минимально согласованными, т. е.

Тогда информацию можно обобщенно представить следующим образом задаются семейством стандартных подмножеств (интервалов вложенных друг в друга таким образом, что

Интервалы Е. служат эталонами для классификации данных и играют ту же самую роль, что и дизъюнктивные классы, которые используются для построения гистограммы. Каждый результат эксперимента единственным образом связывается с самым малым эталоном который может его содержать. Пусть — относительное число результатов, равных Определим частоты:

Очевидно, что функция находит значения вероятностей для вложенных фокальных элементов и, следовательно, определяет через формулы (1.26) и (1.27) меры возможности и необходимости, которые дают нижнее и верхнее приближения тех оценок значений вероятности, которые были бы получены по точно определенным данным.

Эта идея, изложенная в работе [10], требует, однако, разработки метода определения эталонов . В работе [41] показано, что наилучший выбор эталонов - это множество -срезов нечеткого множества построенного на основе данных в виде

где характеристическая функция Отметим, что функция является нормированной при выполнении условия . В дальнейшем предполагается, что эталоны Е; суть -срезы Обозначим и меры возможности и необходимости, получаемые на основе функции распределения возможностей которая определяется по частоте с помощью формулы (1.42), а и - меры возможности и необходимости, определяемые на базе функции Доказываются следующие результаты [41]:

1) , т. е. множество является более неточным, чем множество Равенство здесь выполняется тогда, и только тогда, когда образуют последовательность вложенных множеств.

2) Пусть и Р — нижние и верхние вероятности, определяемые формулами (1 26) и (1 27), где - фокальные элементы . Т. е.

Тогда справедливы следующие соотношения

Более того, и являются соответственно самым большим и самым малым нечеткими множествами по отношению вложенности, такими, что выполняются отношения вложенности (1.55), и такими, что порядки, определенные функциями и Р на элементах множества идентичны. Кроме того, отметим, что Этот результат показывает, что множества и составляют наилучйше нижние и верхние возможностные приближения множества данных в смысле отношений вложенности вышеуказанных интервалов. Таким образом, видно, что множество интервалов можно аппроксимировать функциями распределения возможностей. Результаты, относящиеся к не требуют выполнения условия к тому же функция принадлежности всегда нормирована

Гистограмма и функция распределения возможностей [9]. Когда задана мера возможности, представленная в виде вложенных фокальных элементов и вероятностных весов, ее можно аппроксимировать вероятностной мерой, введя для каждого фокального элемента условное равномерное распределение вероятностей Тогда вероятность появления элемента — конечное множество) определяется в виде

где - мощность множества .

Таким образом, вероятностная мера Р (которую можно считать до некоторой степени произвольной) выбирается в классе мер, которые удовлетворяют неравенствам

Значения вероятностей вычисляются непосредственно по функции распределения возможностей

где — фиктивный элемент (множество состоит из элементов)

Легко заметить, что формула (1.58) определяет взаимно однозначное отображение между функциями распределения и . В работе [9] получено обратное соотношение

Это последнее соотношение позволяет определить нечеткое множество по гистограмме с учетом условия связности (1.57). К тому же данное преобразование легче обосновать, поскольку здесь вместо сложения степеней неопределенности можно ограничиться их сравнением друг с другом. Такой образ действий оправдывает себя на практике лишь тогда, когда в рамках поставленной задачи вероятностная модель оказывается трудно реализуемой, а возможностиая модель обеспечивает удовлетворительные результаты.

Легко видеть, что неравенства (1.57) по форме совпадают с правой частью выражения (1 55), где Однако функция распределения возможностей , определяемая формулой (1.59), не является наилучшим верхним приближением функции распределения вероятностей в отличие от функции Используя процедуру аппроксимации, изложенную в данном разделе применительно к случаю функции распределения вероятностей (множества являются одноточечными, а получаем

Легко проверить, что функция распределения возможностей определяемая формулой (1 59), является менее точной, чем функция распределения в том смысле, что Множества с-уровня нечеткого множества естественным образом интерпретируются как «доверительные множества (подобно доверительным интервалам в статистике), связанные с функцией распределения вероятностей . В частности, можно убедиться, что если а то имеем , т. е. с вероятностью можно быть уверенным в том, что значение случайной переменной, описываемое функ цией находится среди элементов множества строгого -уровня нечеткого

множества . В статистике часто предполагается, что Использование функции распределения возможностей позволяет избежать такого произвольного назначения порога.